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SEMINAIRE du 27 mars Copules et dpendance entre les risques Marie-Christine BRASSIER Gilles DEPOMMIER Przemyslaw SLOMA ALTIA 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tl : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : [email protected] Plan de la Prsentation Pourquoi les Copules ? Les principes de base Etude dun cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue 2 Pourquoi les Copules ? ALTIA 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tl : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : [email protected] Pourquoi les Copules ? Les Copules Un moyen de mesurer la dpendance. Permettent de coupler les lois marginales des variables afin dobtenir la loi jointe. Les copules permettent de modliser les dpendances, en particulier dans les extrmes.

4 Les limites du coefficient de corrlation Le coefficient de corrlation utilis classiquement pour mesurer la dpendance possde des insuffisances Cov ( X , Y ) XY Il ne fonctionne que pour des variables Gaussiennes, pour lesquelles corrlation et dpendances recouvrent la mme ralit Dans les autres cas, son utilisation est dlicate : Ainsi, la non corrlation de deux variables non gaussiennes ne signifie pas une absence de dpendance. Exemple: X et X2 sont manifestement des variables dpendantes, cependant si X suit par exemple une loi normale, le coefficient de corrlation en X et X2 est nul Le coefficient de corrlation ne mesure pas la structure de la dpendance 5 Les limites du coefficient de corrlation Le coefficient de corrlation peut tre le mme alors que la structure de dpendance est totalement diffrente (notamment pour les valeurs extrmes) Charge sinistre value Anne de survenance Branche A Branche B

Anne de survenance Branche A Branche B 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 320 250 350 825 850 950 850 1550 1507 320 250 350 1507 1550 825 950 850 850

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 320 250 350 825 850 950 850 1550 1507 825 850 850 950 320 250 350 1550 1507 Estimation du coefficient de corrlation : 0,48 Mais avec forte dpendance des valeurs faibles 6

Charge sinistre value Estimation du coefficient de corrlation : 0,48 Mais avec forte dpendance des valeurs fortes Les limites du coefficient de corrlation : risques extrmes Dpendance des risques extrmes : Copule de Gumbel vs. Copule Normale Copula: Gumbel:tau de Kendall=0.6 0.0 0.0 0.2 0.2 0.4 0.4 V V 0.6 0.6 0.8 0.8 1.0

1.0 Copula: Normale: tau de Kendall=0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 U 7 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 U 0.8 1.0 Les Copules : Les principes de base ALTIA 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tl : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80

Site : www.altia.fr Mail : [email protected] Quest-ce quun copule : le thorme de Sklar Le thorme de Sklar (cas bivari): Soit F une fonction de rpartition en dimension 2 admettant F1 et F2 pour marginales. Alors nous pouvons reprsenter F laide dune copule avec F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2)) De faon schmatique : Les marginales de chaque variable tant donnes, il suffit de les joindre par une fonction copule ayant les proprits de dpendance souhaites de manire obtenir la loi jointe. FY Fy 9 Structure de dpendance (fonction copule) Fx, y Les familles de Copules Il existe diffrents types de copules Chaque copule exprime une structure de dpendance diffrente Dpendance dans les valeurs petites Dpendance dans les valeurs extrmes Dpendance de queue Dpendance positive ou ngative. Famille des copules Archimdiennes Copule de Gumbel : Dpendances positives et plus accentues sur la queue suprieure.

Copule de Frank : Dpendances aussi bien positives que ngatives Copule de Clayton : Dpendances positives. Et particulirement sur les vnements faible intensit 10 Copule HRT : Dpendance sur des vnements extrmes de forte intensit (structure de dpendance inverse par apport la copule de Clayton) Famille des copules Elliptiques : elle sapplique des distributions symtriques. Copule Gaussienne Copule de Student Dpendogramme Les dpendogrammes permettent dapprhender de manire graphique la structure de dpendance entre 2 variables alatoire. Mthodologie dobtention : Nuage de points des marges uniformes (U1,U2) extraits dun chantillon ou rsultant des simulations dune copule thorique. Les marges uniformes extraites de lchantillon correspondent au classement par rang des marginales. Reprsentation Graphique de la Copule de Gumbel Reprsentation Graphique de la Copule d'Indpendance 1 1 0,9

0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 V V 0,6 0,5 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0 0 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 U 11 0,5 0,4 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 U 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Dpendogramme selon le type de Copule Exemples de familles de copules en dimension 2 GUMBEL HRT Gumbel Clayton Reprsentation Graphique de la copule 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8

0,8 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,5 0,5 0,5 V 1 1 0,4 0,4 0,4 0,3 0,3

0,3 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,9 1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 U 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,9 0,8 0,8

0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,5 0,5 0,5 V 0,9 0,8 V 1 0,9 0,4 0,4 0,4

0,3 0,3 0,3 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0 0 0,3 0,4 0,5 0,4 0,5 0,6 U

FRANK 0,7 0,8 0,9 1 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Reprsentation Graphique de la copule 1 0,2 0,3 Student Reprsentation Graphique de la copule 1 0,1 0,2 U

Normale Reprsentation Graphique de la copule 0 0,1 U Frank V Reprsentation Graphique de la copule 1 V V Reprsentation Graphique de la copule 12 CLAYTON HRT 0 0 0,1 0,2

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 U NORMALE 0,8 0,9 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

U STUDENT 0,8 0,9 1 Exemple de processus destimation dune Copule Disposer des deux vecteurs observs pour les deux variables dont on tudie la dpendance Estimer le paramtre de chaque copule laide de lestimateur du taux de Kendall (Gumbel, Clayton, HRT, Frank, Student, Normale) cf annexe 1: taux de Kendall selon chaque copule cf annexe 2 : estimateur empirique du taux de Kendall Reprsentation graphique des (ui,vi) obtenu avec les paramtres estims et les (ui,vi) empiriques 13 Exemple de processus destimation dune Copule (suite) Choix de la meilleure copule : Par adquation graphique : Comparaison du dpendogramme dpendogrammes thoriques empirique

avec les Utilisation du test de Kolmogorov Smirnov Comparaison de la fonction K(z) empirique avec la fonction K(z) thorique de chacune des familles. La fonction K(z) est ni plus ni moins la fonction de rpartition de la copule C(U,V). Sup F ( x) F ( x) n Test de Kolmogorov Smirnov et calcule de choisir la copule adquate. 14 de manire Etude dun Cas Pratique : estimation des provisions nettes de recours sur une branche longue ALTIA 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tl : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : [email protected] Application Pratique Les donnes Triangles de liquidation des paiements (en flux) dune branche longue Triangles de liquidation des recours (en flux) de la mme branche longue 12 annes dhistorique Objectif : calculer les provisions nettes de recours selon que lon considre quil y a indpendance ou non

16 Application Pratique (best estimate, var 90%...) selon trois mthodes Provision brutes provisions de recours, en considrant que les rsidus des deux triangles sont indpendants Provisions brutes provisions nettes de recours en considrant que les rsidus des deux triangles sont dpendants Provisions nettes de recours sur le triangle des paiements nets de recours Mthode de projections des triangles Bootstrap Dpendance entre les triangles modlise au niveau des rsidus de Pearson de deux triangles 17 Application Pratique - Rsultats Dpendogramme des rsidus: 1.0 Dpendogramme 0.8 Nombre des points=78 0.6 0.4 Corrlation de Pearson=0,563 taux de Kendall= 0,413 0.0

0.2 Gross Paid (triangle 12x12) 0.0 0.2 0.4 0.6 Recours 18 0.8 1.0 Application Pratique - Rsultats Calibration dune copula et le test dajustement Copule Normale Gumbel Frank Clayton t-Student paramtre 0,64 1,81 4,61 1,38

0,68 tau de Kendall 0,44 0,45 0,43 0,41 0,48 p-value 0,19 0,23 0,02 0,05 0,21 Lestimation du paramtre de la copule: La mthode du pseudo-maximum de vraisemblance La mthode des moments: (tau de Kendall) Test dajustement de la copule: Test bas sur la statistique de Cramer-von-Mises et le processus empirique de copules 19 Application Pratique - Rsultats Les rsidus et les copula retenues - dpondogrammes Dpendogramme V 0.6 0.6

0.4 0.4 0.0 0.0 0.2 0.2 Gross Paid 0.8 0.8 1.0 1.0 Copula: Normale 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.2 0.4 Recours 0.8 1.0 0.8 1.0 Copula: t-Student 0.0 0.0 0.2 0.2 0.4 0.4 V V 0.6

0.6 0.8 0.8 1.0 1.0 Copula: Gumbel 20 0.6 U 0.0 0.2 0.4 0.6 U 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4

0.6 U Application Pratique - Rsultats Rsultats de projections: Copula: Normale quantile 50% 75% 95% 99,5% 21 quantile 50% 75% 95% 99,5% Provisions nettes de recours calcules par la diffrence provisions brutes - provisions recours dpendance indpendance (1) (2) 54 224 906 54 260 881 62 655 333 65 016 630 74 479 416 80 298 931 86 966 691 97 357 842 Copula: Gumbel

Provisions nettes de recours calcules par la diffrence provisions brutes - provisions recours dpendance indpendance (1) (2) 54 520 020 54 260 881 62 836 289 65 016 630 74 414 908 80 298 931 86 792 567 97 357 842 Provisions nettes de recours calcules sur la base des triangles nets de recours (2)/(1) en% 100% 104% 108% 112% 53 257 298 59 374 239 69 146 218 79 622 850 Provisions nettes de recours calcules sur la base des triangles nets de recours

(2)/(1) en% 100% 103% 108% 112% 53 257 298 59 374 239 69 146 218 79 622 850 Application Pratique - Rsultats Rsultats de projections: Copula: t-Student quantile 50% 75% 95% 99,5% Provisions nettes de recours calcules par la diffrence provisions brutes - provisions recours dpendance indpendance (1) (2) 54 412 806 54 260 881 62 325 807 65 016 630 73 988 394 80 298 931 85 741 182 97 357 842

Provisions nettes de recours calcules sur la base des triangles nets de recours (2)/(1) en% 100% 104% 109% 114% 53 257 298 59 374 239 69 146 218 79 622 850 Les calculs statistiques: Logiciel R (package ChainLadder et package copula) + les dveloppements internes d'ALTIA 22 Conclusion ALTIA 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tl : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : [email protected] Importance de la mesure des dpendances : retour dexprience Paramtrage et donnes Homognit des donnes et des comportements Valeurs extrmes Mesure de la dpendance

Le choix de la copule La dpendance des extrmes Les crises de corrlation 24 Annexes ALTIA 76, rue de la Victoire, 75009 Paris Tl : +33 (0)1 42 97 91 70 - Fax : +33 (0)1 42 97 91 80 Site : www.altia.fr Mail : [email protected] Annexe 1 : Formules mathmatiques Formules des diffrentes copules Copule HRT Copule Normale 26 Annexe 1 : formules mathmatiques (suite) Copule de Student: Les proprits du tau de Kendal: 1 ( X , Y ) 1 Si X et Y sont comonotones alors X , Y ) 1 Si X et Y sont contremonotones alors Si X et Y sont indpendantes alors X , Y ) 1 X , Y ) 0

Il existe une formule ferme thorique dtermine en fonction de la copule (et 1 1 de son paramtre) ( X , Y ) 4C (u , v)c(u , v)dudv OO 27 Annexe 2 : Estimation du Paramtre de Kendall par la mthode des moments Le tau de Kendall correspond la probabilit de concordance moins celle de discordance. ( X , Y ) P[( X X ' ) (Y Y ' ) 0] P[( X X ' ) (Y Y ' ) 0] Mthodologie de calcul : Tau de kendall empirique : Il suffit de compter le nombre de paires concordantes nc, de retrancher le nombre de paires discordantes nd, puis de diviser le tout par le nombre total de paires possibles. deux paires (x1,y1), (x2,y2) sont concordantes si: x1x2 and y1>y2 (ou si : (x1-x2)*(y1-y2)>0) Afin destimer le paramtre par la mthode des moments, il sagit de calculer le coefficient de Kendall empirique, puis dutiliser la formule ferme de manire rsoudre lquation dans laquelle est linconnue. 28 Annexe 2 : Mthode destimation du taux de Kendall Exemple de calcul : Kendalls tau can be estimated directly by using the raw data:

where nc is the number of concordant pairs, and nd is the number of discordant pairs in the data set Exemples de Mthode destimation : Mthode des moments (inversion du tau de Kendall) Maximum de vraisemblance Inference Functions for Margins (IFM) Canonical Maximum Likelihood (CML) Statistique de Crener von mises ? . 29 Annexe 3 :Mthode du Bootstrap Les tapes de la mthode du Bootstrap Soit X1, X2 ,..., XN un chantillon de N variables alatoires indpendantes et identiquement distribues. tape1 On effectue N tirages alatoires avec remise dans lchantillon et on obtient un pseudo chantillon de taille N. Exemple: N=5 (X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1) tape2 On rpte tape1 B fois, o B est grand. On obtient alors B pseudo chantillons. Exemple: N=5, B=3 X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3) 30 Annexe 3 : Principe du Bootstrap tape3 Pour chaque pseudo chantillon X(j) on calcule un estimateur

T(X ) (j=1,..,B) dun paramtre dintrt (inconnu). Lestimateur (j) du bootstrap est calcule par : boot 1 B B T ( X (k ) ) k 1 Exemple: N=5,B=3,-variance de Xvariance de X1,T-variance de X estimateur de c..d. 2 1 N T ( X ) T ( X 1 ,.., X N ) X X

1 , N 1 i 1 1 N X Xi N i 1 X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3) 31 Annexe 3 : Principe du Bootstrap Exemple: N=5,B=3, -variance de Xvariance de X1,T-variance de X estimateur de X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X1, X5 , X3, X5, X1)=X(1) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X2, X5 , X2, X1, X2) )= X(2) X=(X1, X2 , X3, X4, X5) (X3, X3 , X4, X1, X4) )= X(3) Pour X(1), X(2), X(3) on calcule T(X(1)), T(X(2)), T(X(3)). 1 boot T ( X (1) ) T ( X ( 2 ) ) T ( X ( 3) ) 3 32 Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation Hypothses du modle: On suppose que les variables Cij (paiements) sont indpendantes et suivent la loi de Poisson Surdispers avec des paramtres: E(Cij)= Cij* Var(Cij)= *Cij* Dans lapplication classique du r-variance de Xchantillonnage, les donnes sont supposes

indpendantes et identiquement distribues. Cependant les variables Cij (paiements) sont supposes indpendantes mais pas identiquement distribues. Par consquent, la mthode sera applique non pas directement aux variables C ij mais aux rsidus dfinis de faon quils soient indpendants et identiquement distribus. 33 Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation Hypothses du modle Applications des Copules Par consquent, la mthode sera applique non pas directement aux variables Cij mais aux rsidus dfinis de faon quils soient indpendants et identiquement distribus. Dans ce model la copule C (inconnue, estimer) modlisera la dpendance entre les rsidus de deux triangles de liquidation: Mathmatiquement la copule C sera associ la loi jointe des rsidus: 34 Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 35 Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 36 Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 37 Annexe 3 : Applications du Bootstrap aux triangles de liquidation 38

Annexe 4 : Dpendogramme Etape 1 : Transformation des marginales en couples uniformes en utilisant la classification par rang Reprsentation Graphique de la copule Dpendogramme empirique : 1 0,9 U est la transformation uniforme V est la transformation uniforme du taux de chmage 0,7 0,6 V du CAC 0,8 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 U Etape 2 : Estimation du paramtre pour chaque famille de copule laide de la mthode des moments Etape 3 : Reprsentation graphique des dpendogrammes Etape 4 : Reprsentation graphique de la fonction K(z) empirique et comparaison avec la fonction K(z) thorique de chacune des familles Etape 5 : Choix de la copule en se fixant un critre de dcision. 39

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