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Programa de certificacin de Black Belts ASQ 7. Metodologa Seis Sigma - Anlisis P. Reyes /Septiembre de 2007 1 QFD FASE DE ANLISIS Diagrama Causa Efecto Definicin Y=X1 + X2+. .Xn CTQs = Ys Operatividad Diagrama de relaciones Diagrama de Ishikawa Diagrama de rbol Medicin Y, X1, X2, Xn Anlisis del Modo y Efecto de Falla (AMEF) X's

Causas potenciales Pruebas de hiptesis Diagrama de Flujo del proceso X's vitales No Causa Raz? Si Causas raz validadas 2 7. Metodologa Seis Sigma Anlisis C. AMEF y Herramientas de anlisis A. Anlisis de datos exploratorio B. Pruebas de hiptesis 3 7C1. Anlisis del Modo y Efecto de Falla (FMEA)

4 Qu es el FMEA? El Anlisis de del Modo y Efectos de Falla es un grupo sistematizado de actividades para: Reconocer y evaluar fallas potenciales y sus efectos. Identificar acciones que reduzcan o eliminen las probabilidades de falla. Documentar los procesos con los hallazgos del anlisis. Existe el estndar MIL-STD-1629, Procedure for Performing a Failure Mode, Effects and Criticality Analysis 5 Propsitos del FMEA Mejorar la calidad, confiabilidad y seguridad de los productos y procesos evaluados

Reducir el tiempo y costo de re-desarrollo del producto Documenta y da seguimiento a acciones tomadas para reducir el riesgo Soporta el desarrollo de planes de control robustos 6 Propsitos del FMEA Soporta el desarrollo de planes de verificacin del desarrollo de diseo robusto Apoya a priorizar y enfocarse en eliminar/reducir problemas de proceso y producto y/o previene la ocurrencia de problemas Mejora la satisfaccin del cliente/consumidor 7

Tipos del FMEA AMEF de concepto (CFMEA) A nivel de sistema, subsistema y componente AMEF de diseo (DFMEA) AMEF de Proceso (PFMEA) AMEF de maquinaria (como aplicacin del DFMEA) 8 Tipos de FMEAs FMEA de Diseo (AMEFD), su propsito es analizar como afectan al sistema los modos de falla y minimizar los efectos de falla en el sistema. Se usan antes de la liberacin de productos o servicios, para corregir las deficiencias de diseo. FMEA de Proceso (AMEFP), su propsito es analizar

como afectan al proceso los modos de falla y minimizar los efectos de falla en el proceso. Se usan durante la planeacin de calidad y como apoyo durante la produccin o prestacin del servicio. 9 PFMEA o AMEF de Proceso Fecha lmite: Concepto Prototipo Pre-produccin /Produccin FMEAD FMEAP FMEAD Falla Controles FMEAP Caracterstica de Diseo Forma en que el producto o servicio falla Paso de Proceso Forma en que el proceso falla al producir el requerimiento

que se pretende Tcnicas de Diseo de Verificacin/Validacin Controles de Proceso 10 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla 11 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla Prevenir los errores y mejorar la robustes son dos esfuerzos distintos y complementarios para evitar los modos de falla Diagrama de fronteras Define las fronteras / alcance y clarifica la relacin entre el sistema enfocado y sus sistemas de interfase

Matriz de interfases Identifica las interfases del sistema y ambos el efecto de interfases al sistema enfocado y las interfases del sistema. Documenta los detalles de interfases del sistema 12 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla DFMEA Es un anlisis detallado de los modos de falla potenciales relacionados con las funciones primarias y de interfases del sistema. Es el documento primario para demostrar que se han evitado errores e identifica los controles y acciones para reducir los riesgos asociados 13 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla REDPEPR (Robustness Engineering Design and Product Enhacement Process)

P-Diagrama: Identifica y documenta las seales de entrada, factores de ruido, factores de control y estados de error asociadas con las funciones ideales Lista de verificacin de Robustez (RCL): es un anlisis profundo del impacto de factores de ruido en la funcin ideal y estados de error. Es una evaluacin metdica de la efectividad de mtodos de verificacin de diseo (DVMs) en trminos de cobertura de factores de ruido. Genera estrategias de gestin de factores de ruido. 14 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla REDPEPR (Robustness Engineering Design and Product Enhacement Process) Matriz de Demostracin de Robustez (RDM) es un enfoque de los datos para asegurar las pruebas de factores de ruido, y mtricas de prueba medidas/cuantificadas para probar la robustez. Es una parte del plan de verificacin de diseo (DVP).

El DFMEA e Ingeniera de Robustez son complementarios 15 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla Plan de Verificacin de Diseo (DVP): Es un plan exhaustivo de verificacin que incluye entradas de ambos DFMEA y REDPEPR. Asegura que los factores de ruido sean incluidos en las pruebas y atiende las mediciones crticas para evaluar las funciones ideales y los modos de falla potenciales/anticipados durante y despus de las pruebas 16 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla Fuentes de entrada al FMEA: Requerimientos (WCR, reglamentarios, etc.)

SDS, QFDs, informacin de desempeo histrico Datos de Benchmarking, Datos previosde PD Diagrama P Funciones ideales como funciones Estados de error como Modos o Efectos de Falla Factores de control Diagrama de fronteras y Matriz de Interfases Salidas intencionadas como funciones Las interacciones pueden ayudar a identificar Causas de Fallas 17 Flujo del FMEA y su rol en evitar el Modo de Falla El FMEA sirve de entrada para:

DVP Lista de verificacin de Robustez Caractersticas crticas/significativas Especificaciones de diseo de Sistema / Subsistema / Componente Criterios de validacin Liberacin de seguridad Planes de control 18 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Concepto Los beneficios de hacer un FMEA de concepto incluyen: Ayuda a seleccionar las alternativas de concepto ptimas, o determina cambios a Especs. De Diseo de Sistema (SDS) Identifica modos de falla potencial y causas debido a interacciones dentro del concepto Incrementa la verosimilitud de todos los efectos potenciales de los modos de falla del concepto

19 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Concepto Ayuda a generar tasas de ocurrencia de causas que puede ser usada para estimar una meta de alternativa particular de concepto Identifica requerimientos de prueba a nivel de sistema y subsistema Ayuda a determinar si la redundancia del hardware del sistema puede ser requerido dentro de una propuesta de diseo 20 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Concepto Se enfoca a los modos de falla potencial asociados con las funciones propuestas de una propuesta de concepto causado por decisiones de diseo que introduce deficiencias (incluye el layout del proceso) Incluye la interaccin de sistemas mltiples y la

interaccin entre los elementos de un sistema en las etapas de concepto (incluye interacciones de operacin en el proceso) 21 Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Concepto Una lista de Causas y Modos de falla potenciales del concepto Una lista de acciones de diseo para eliminar las causas de modos de falla para reducir su tasa de ocurrencia Cambios recomendados a SDSs Especificar parmetros de operacin como especificaciones clave del diseo 22 Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Concepto

Cambios a estndares o procesos de manufactura globales Nuevos mtodos de prueba o recomendaciones para nuevas pruebas genricas Decisin sobre cual concepto seleccionar 23 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Diseo Soporta el proceso de diseo al reducir el riesgo de fallas (incluyendo las salidas no intencionadas) por: Soporta la evaluacin objetiva de diseo, incluyendo requerimientos funcionales y alternativas de diseo Evaluar los diseos iniciales sobre requerimientos de manufactura, ensamble, servicio y reciclado Incrementar la probabilidad de que los modos de falla potencial y sus efectos en el sistema y operacin del producto se han considerado en el procesos de diseo/desarrollo 24 Beneficios de los tipos de FMEA

FMEA de Diseo Proporcionar informacin adicional como apoyo en la planeacin exhaustiva de programas de diseo eficiente, desarrollo y validacin Desarrollo de una lista priorizada de modos de falla potenciales de acuerdo a su efecto en el cliente estableciendo un sistema de prioridades para mejoras al diseo, desarrollo, validacin, prueba y anlisis Proporcionar un formato de problemas pendientes para recomendar y dar seguimiento de acciones que reduzcan el riesgo 25 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Diseo Proporcionar referencias futuras, vg. lecciones aprendidas, ayuda en anlisis de problemas de campo, evaluar cambios de diseo y desarrollo de diseos avanzados

Ayuda a identificar caractersticas crticas potenciales y caractersticas significativas potenciales Ayuda a validad el plan de verificacin del diseo (DVP) y las especificaciones de diseo del sistema (SDSs) 26 Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Diseo Se enfoca a modos de falla potenciales de productos causadas por deficiencias de diseo Identifica caractersticas potenciales designadas o caractersticas especiales Proporciona una lista de Modos y Causas de Modos de falla del producto Una lista de caractersticas crticas potenciales y/o caractersticas significativas 27 Beneficios de los tipos de FMEA Salidas del FMEA de Diseo

Una lista de acciones recomendadas para reducir severidad, eliminando las causas de los modos de falla del producto o reduciendo su tasa de ocurrencia o mejora de la deteccin Para FMEAs de nivel de sistema, confirma las SDS o las actualiza Confirmacin del Plan de Verificacin del Diseo (DVP) Retrolalimentacin de cambios de diseo a los comits 28 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Los beneficios de un FMEA de proceso incluyen: Identifica las funciones y requerimientos del proceso Identifica modos de falla potenciales relacionados

con el producto y proceso Evala los efectos de las fallas potenciales con el cliente Identifica las causas potenciales en el proceso de manufactura Identifica las variables de proceso en las cuales hay que enfocarse para reducir las fallas muy lejanas 29 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Los beneficios de un FMEA de proceso incluyen: Identificar las variables del proceso centrandose en la ocurrencia Reduccin o deteccin de las condiciones de falla Identificar variables del proceso a las cuales enfocar el control Desarrollar una lista ordenada clasificada de modos de falla estandarizados para establecer un sistema de prioridades 30 Beneficios de los tipos de FMEA

FMEA de Proceso Sistema del prioridad del riesgo para consideraciones de acciones preventivas y correctivas Documentar los resultados del proceso de manufactura o proceso de ensamble Documenta los resultados del proceso de manufactura o ensamble Identifica deficiencias del proceso para orientar a establecer controles para reducir la ocurrencia de productos no conformes o en mtodos para mejorar su deteccin 31 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso

Identifica caractersticas crticas y/o significativas confirmadas Apoya en el desarrollo de Planes de Control a travs de todo el proceso de manufactura Identifica aspectos de preocupacin en relacin con la seguridad del operador Retroalimenta informacin sobre cambios de diseo requeridos y factibilidad de manufactura a las reas de diseo 32 Beneficios de los tipos de FMEA FMEA de Proceso Se enfoca a modos de falla potenciales del producto causados por deficiencias de manufactura o ensamble Confirma la necesidad de controles especiales en manufactura y confirma las Caractersticas Especiales designadas en el DFMEA Identifica modos de falla del proceso que pudieran violar las reglamentaciones del gobierno o comprometer la seguridad del personal, identificando otras Caractersticas especiales de Seguridad del operador (OS) y con alto impacto (HI) 33

Salidas del FMEA de Proceso Una lista de modos potenciales de falla Una lista de Caracterticas crticas y/o significativas Una lista de caractersticas relacionadas con la seguridad del operador y con alto impacto Una lista de controles especiales recomendados para las Caractersticas Especiales designadas y consideradas en el Plan de control 34 Salidas del FMEA de Proceso Una lista de procesos o acciones de proceso para reducir la Severidad, eliminar las causas de los modos de falla del producto o reducir su tasa de ocurrencia, y mejorar la tasa de Deteccin de defectos si no se puede mejorar la capacidad del proceso Cambios recomendados a las hojas de proceso y

dibujos de ensamble 35 Modos de fallas vs Mecanismos de falla El modo de falla es el sntoma real de la falla (altos costos del servicio; tiempo de entrega excedido). Mecanismos de falla son las razones simples o diversas que causas el modo de falla (mtodos no claros; cansancio; formatos ilegibles) o cualquier otra razn que cause el modo de falla 36 Definiciones Modo Modo de de Falla Falla --La Laforma formaen enque queun unproducto

productoooproceso procesopuede puedefallar fallarpara para cumplir cumplircon conlas lasespecificaciones especificacionesoorequerimientos. requerimientos. --Normalmente Normalmentese seasocia asociacon conun un Defecto, Defecto, falla fallaooerror. error. Diseo Proceso Diseo Proceso Alcance Omisiones Alcanceinsuficiente insuficiente Omisiones Recursos Recursosinadecuados inadecuados Monto Montoequivocado

equivocado Servicio Serviciono noadecuadoTiempo adecuadoTiempode derespuesta respuestaexcesivo excesivo 37 Definiciones Efecto Efecto --El Elimpacto impactoen enel elCliente Cliente cuando cuandoel elModo Modode deFalla Fallano nose se previene previeneni nicorrige. corrige. --El Elcliente

clienteooel elsiguiente siguienteproceso procesopuede puedeser serafectado. afectado. Ejemplos: Ejemplos: Diseo Diseo Serv. Serv.incompleto incompleto Operacin Operacinerrtica errtica Proceso Proceso Servicio Serviciodeficiente deficiente Claridad Claridadinsuficiente insuficiente Causa Causa --Una Unadeficiencia deficienciaque

quegenera generael elModo Modode deFalla. Falla. --Las Lascausas causasson sonfuentes fuentesde de Variabilidad Variabilidadasociada asociadacon con variables de Entrada Claves variables de Entrada Claves Ejemplos: Ejemplos: Diseo Diseo Material Materialincorrecto incorrecto Demasiado Demasiadoesfuerzo esfuerzo

requerimientos requerimientos Proceso Proceso Error Erroren enservicio servicio No No cumple cumple 38 Preparacin Preparacin del del AMEF AMEF Se recomienda que sea un equipo multidisciplinario El responsable del sistema, producto o proceso dirige el equipo, as como representantes de las reas involucradas y otros expertos en la materia que sea conveniente. 39

Cuando iniciar un FMEA? Al disear los sistemas, productos y procesos nuevos. Al cambiar los diseos o procesos existentes o que sern usados en aplicaciones o ambientes nuevos. Despus de completar la Solucin de Problemas (con el fin de evitar la incidencia del problema). El AMEF de diseo, despus de definir las funciones del producto, antes de que el diseo sea aprobado y entregado para su manufactura o servicio. El AMEF de proceso, cuando los documentos preliminares del producto y sus especificaciones estn disponibles. 40 FMEA de Diseo - DFMEA 41 AMEF de Diseo

El DFMEA es una tcnica analtica utilizada por el equipo de diseo para asegurar que los modos de falla potenciales y sus causas/mecanismos asociados, se han considerado y atendido 42 AMEF de Diseo El proceso inicia con un listado de lo que se espera del diseo (intencin) y que no har el diseo Las necesidades y expectativas de los clientes de determinan de fuentes tales como el QFD, requerimientos de diseo del producto, y/o requerimientos de manufactura/ensamble/servicio. Entre mejor se definan las caractersticas deseadas, ser ms fcil identificar Modos de de falla potenciales para toma de acciones correctivas / preventivas. 43 Entradas al FMEA de Diseo

44 Equipo de trabajo El equipo se divide en dos secciones: El equipo central (core) que participa en todas las fases del FMEA y el equipo de soporte que apoya conforme es requerido El apoyo de la alta direccin es crucial para el xito 45 Alcance del DMEA El alcance se establece en el Diagrama de lmites (Boundary Diagram) por medio de consenso con el equipo de: Qu se va incluir? Qu se va a excluir?

Establecer los lmites adecuados antes de hacer el DFMEA evitar entrar en reas que no se estn revisando o creando, para asegurar que el equipo adecuado realice el anlisis 46 Alcance del DMEA Para determinar la amplitud del alcance, se deben hacer las decisiones siguientes: Determinar la estabilidad del diseo o desarrollo del proceso, a lo mejor primero se deben aclarar y resolver asuntos pendientes antes del DMFEA, est finalizado o es un punto de control? Cuntos atributos o caractersticas estn todava bajo discusin o la necesidad debe determinarse? Qu tan avanzado va el diseo o proceso para su terminacin? Tendr cambios 47 Entradas al DFMEA

Herramientas de robustez Su propsito es reducir la probabilidad de campaas de calidad, mejorar la imagen, reducir reclamaciones de calidad e incrementar la satisfaccin del cliente Se generan del diagrama P que identifica los cinco factores de ruido, para ser atendidos a tiempo haciendo al diseo insensible al ruido 48 Entradas al DFMEA Diagrama de lmites Un diagrama de lmites es una ilustracin grfica de las relaciones entre subsistemas, ensambles, subensambles y componentes dentro del objeto, as como las interfases con los sistemas vecinos y el entorno Al inicio del diseo, el diagrama de lmites puede ser de algunos bloques representado las funciones principales y sus interrelaciones al nivel del sistema. Conforme madura el diseo, se pueden revisar o complementar para

mostrar niveles inferiores de detalle, profundizando hasta el nivel de componente 49 Entradas al DFMEA Matriz de interfase Ilustra las relaciones entre subsistemas, ensambles, subensambles, y componentes dentro del objeto as como las interfases con los sistemas vecinos y el entorno. Documenta los detalles tales como tipos de interfases, fuerza/importancia de las interfases, efecto potencial de interfases, etc. Si no se atienden las interacciones en este punto pueden generarse garantas potenciales y problemas de devoluciones 50 Entradas al DFMEA Diagrama P Se usa para identificar entradas intencionadas (seales) y salidas (funciones) para el objeto de estudio bajo una funcin especfica.

Se identifican los estados de error. Los factores de ruido fuera del control del diseador que puedan ocasionar estados de error se listan (de acuerdo a las cinco fuentes bsicas de ruido) Variacin pieza a pieza Cambios en el tiempo (desgaste) Uso del cliente Efectos del ambiente (tipo de camino, clima) Interacciones del sistema Finalmente se identifican y ajustan los factores de control para minimizar el ruido 51 Entradas al DFMEA Diagrama P Dependiendo del nivel de detalle del Diagrama P, la informacin se alimenta a diversas columnas del FMEA. Se sugiere anexarlo El Diagrama P: Describe los factores de ruido, factores de control,

funciones ideales y estados de error Asisten en la identificacin de: Causas potenciales de falla Modos de falla Efectos potenciales de la falla Controles actuales Acciones recomendadas 52 Entradas al DFMEA Diagrama P 53 Entradas al DFMEA Diagrama P Los factores de control permiten hacer ajustes para que las funciones del producto sean ms robustos Un estado de error se puede clasificar en dos categoras: 1. Desviacin de la funcin intencionada con modos de falla potenciales:

No funciona Funciona parcialmente (incluye degradacin en el tiempo) Funcin intermitente Sobrefuncin 54 Entradas al DFMEA Diagrama P 2. Salida no intencionada del sistema (v. gr. Vibraciones) Los factores de ruido son interfases no intencionadas, o condiciones e interacciones que pueden ocasionar falla de la funcin (v. gr. La vibracin produce desgaste) Las respuestas son salidas intencionadas de salida ideales (vg. Bajo consumo) Los factores de seal son los que se activan para iniciar la funcin (v. gr. El usuario activa un switch) 55

Modelo DFMEA Paso 1 Funciones Identificar todas las funciones en el alcance Identificar como cada una de las funciones puede fallar (Modos de falla) Identificar un grupo de efectos asociados para cada modo de falla Identificar el rango de severidad para cada uno de los grupos de efectos que prioriza los modos de falla Si es posible recomendar acciones para eliminar los modos de falla sin atender las causas Completar pasos 2 y 3 56 Modelo DFMEA Paso 1 Funciones La funcin da respuesta a Qu se supone que hace este artculo?

Las funciones son intenciones del diseo o especs. de ing. y: Se escriben en forma de verbo/nombre/caract. medible La caracterstica Medible o SDS: Puede ser verificada/validada; incluye parmetros adicionales o parmetros de diseo como especificaciones de servicio, condiciones especiales, peso, tamao, localizacin y accesibilidad o requerimientos de estndares (v. gr. EMVSS) 57 Modelo DFMEA Paso 1 Funciones Las funciones representan las expectativas, necesidades y requerimientos tanto explcitos como no explcitos de los clientes y sistemas Las funciones no pueden fallar si no son medibles o especificadas Ejemplos: Almacenar fluido, X litros sin fugas

Controlar el flujo, X centmetros cbicos por segundo Abrir con X fuerza Mantener la calidad del fluido durante X aos bajo condiciones de operacin 58 Modelo DFMEA Paso 1 Modos de falla potenciales Son las formas en las cuales un componente, subsistema o sistema pueden potencialmente no cumplir o proporcionar la funcin intencionada, pueden ser tambin las causas El Modo de falla en un sistema mayor puede ser el efecto de un componente de menor nivel Listar cada uno de los modos de falla potenciales asociados con el artculo en particular y con su funcin (revisar el historial de garantas y fallas o hacer tormenta de ideas Tambin se deben considerar modos de falla potenciales que pudieran ocurrir slo bajo ciertas condiciones (vg.

Calor, fro, humedad, polvo, etc) 59 Modelo DFMEA Paso 1 Tipos de Modos de falla potenciales No funciona Funciona parcialmente / sobre funcin / degradacin con el tiempo Funcin intermitente A veces causado por los factores ambientales Funcin no intencionada Los limpiadores operan sin haber actuado el switch El coche va hacia atrs an con la palanca en Drive

60 Modelo DFMEA Paso 1 Preguntas para Modos Potenciales de falla De que manera puede fallar este artculo para realizar su funcin intencionada? Qu puede salir mal (go wrong), a pesar de que el artculo se fabrica de acuerdo al dibujo? Cundo se prueba la funcin, como se debera reconocer su modo de falla? Dnde y cmo operar el diseo? 61 Modelo DFMEA Paso 1 Preguntas para Modos Potenciales de falla Bajo que condiciones ambientales operar? El artculo ser usado en ensambles de ms alto nivel? Cmo interacta/interfase con otros niveles del diseo?

No introducir modos de fallas triviales que no pueden o no ocurrirn Asumiendo la funcin: Almacenar fluido, X litros, 0 fugas, durante 10 aos Sus modos de falla son: Almacenar < X, presenta fugas 62 Modelo DFMEA Paso 1 Efectos Potenciales de falla Se definen como los efectos del modo de falla en la funcin percibida por el cliente. Qu puede notar o experimentar ya sea interno o final Establecer claramente si la funcin podra impactar a la seguridad, o no cumplimiento de reglamentaciones

Los efectos se establecen en trminos de sisemas especficos, subsistemas o componentes conforme sean analizados La intencin es analizar los efectos de falla al nivel de experiecia y conocimiento del equipo. 63 Modelo DFMEA Paso 1 Efectos Potenciales de falla Describir las consecuencias de cada uno de los modos de falla identificados en: Partes o componentes Ensambles del siguiente nivel Sistemas Clientes Reglamentaciones NOTA. Todos los estados de error del diagrama P deben ser incluidos en la columna de Modos de falla o efectos del DMFEA 64 Modelo DFMEA Paso 1 Ejemplos de Efectos Potenciales de

falla Ruidos Operacin errtica no operable Apariencia pobre olores desagradables Operacin inestable Operacin intermitente Fugas Ruido de radiofrecuencia (EMC) 65 Modelo DFMEA Paso 1 Severidad

Es la evaluacin asociada con el efecto ms serio de la columna anterior. Habr slo una severidad para cada modo de falla Para reducir la severidad es necesario hacer un cambio de diseo La severidad se estima de la tabla siguiente 66 Rangos de Severidad (AMEFD) Efecto . Rango Criterio No 1 Sin efecto Muy poco componente o

2 Cliente no molesto. Poco efecto en el desempeo del servicio. Poco comp. o Menor desempeo 3 Cliente algo molesto. Poco efecto en el desempeo del servicio. El cliente se siente un poco fastidiado. Efecto menor en el del componente o servicio. Moderado 5 El cliente se siente algo insatisfecho. Efecto moderado en el desempeo del componente o servicio. Significativo 6 comp. o salvo. Falla parcial, El cliente se siente algo inconforme. El desempeo del servicio se ve afectado, pero es operable y est a pero operable.

Mayor seriamente 7 El cliente est insatisfecho. El desempeo del servicio se ve afectado, pero es funcional y est a salvo. Sistema afectado. Extremo Sistema 8 Cliente muy insatisfecho. Servicio inadecuado, pero a salvo. inoperable. Serio perder reglamento del 9 Efecto de peligro potencial. Capaz de descontinuar el uso sin tiempo, dependiendo de la falla. Se cumple con el gobierno en materia de riesgo. Peligro 10 Efecto peligroso. Seguridad relacionada - falla repentina.

4 67 Rangos de Severidad (AMEFD) 68 Modelo DFMEA Paso 1 Clasificacin Cuando un modo de falla tiene un rango de severidad de 9 o 10, existe una caracterstica crtica, se identifica como YC y se inicia un FMEA de proceso Estas caractersticas del producto afectan su funcin segura y/o cumplimiento de reglamentaciones gubernamentales y pueden requerir condiciones especiales de manufactura, ensamble, abastecimiento, embarque, monitoreo y/o acciones de inspeccin o controles 69 Modelo DFMEA Paso 1 Acciones recomendadas Eliminar el Modo de falla

Mitigar el efecto Es necesario un nfasis especial en acciones posibles cuando la severidad es 9 o 10. Para valores menores tambin se pueden considerar acciones Para eliminar el modo de falla considerar la accin: Cambiar el diseo (vg. Geometra, material) si est relaionado a una caracterstica del producto 70 Modelo DFMEA Paso 2 Identificar: Las Causas asociadas (primer nivel y raz) Su tasa de ocurrencia estimada La designacin de la caracterstica adecuada (si existe) a ser indicada en la columna de clasificacin

Acciones recomendadas para Severidad y Criticalidad alta (S x O) 71 Causa potencial o mecanismo de falla La causa potencial de falla se define como un indicador de debilidad del diseo cuya consecuencia es el modo de falla Listar como sea posible, cada causa de falla y/ o mecanismo de falla para cada uno de los modos de falla. El detalle de la descripcin permitir enfocar los esfuerzos para atacar la causa pertinente 72 Causa potencial o mecanismo de falla Se puede emplear un diagrama de Ishikawa o un rbol de falla (FTA), preguntarse: Qu circunstancia pudo causar que fallara el artculo para su fncin? Cmo podra fallar el artculo para cumplir con las especificaciones?

Cmo pueden ser incompatibles artculos que interactan? Qu informacin desarrollada en los diagramas P y Matriz de Interfase pueden identificar causas potenciales? Qu puede causar que el artculo no de la funcin intencionada? Qu informacin en el Diagrama de lmites pudo haberse pasado que pueda causar este modo de falla? En que puede contribuir el historial de 8Ds y FMEAs a las causas potenciales? 73 Causa potencial o mecanismo de falla Supuesto 1: El artculo se fabric de acuerdo a especificaciones, ejemplos de causas de falla: La especificacin de Porosidad del material es muy alta La dureza del material especificada es muy baja El lubricante especificado es muy viscoso Torque especificado demasiado bajo

Supuesto de confiabilidad inadecuada Degradacin de parmetro del Componente Calor excesivo 74 Causa potencial o mecanismo de falla Supuesto 2: El artculo puede incluir una deficiencia que causa variabilidad introducida en el proceso de ensamble o manufactura: Especificar un diseo simtrico que permita que la parte se pueda instalar desde atrs o de arriba a abajo Torque incorrecto debido a que el hoyo est diseado fuera de posicin Cinturn equivocado debido a que el diseo es similar a otro que es estndar tambin en uso 75 Causa potencial o mecanismo de falla Precauciones: El DFMA no confa en los controles del proceso para subsanar

debilidades del diseo, pero toma en cuenta sus limitaciones El objetivo es identificar las deficiencias del diseo que peuden causar variacin inaceptable en el proceso de manufactura o ensamble a travs de un equipo multidisciplinario Las causas de variacin que no sean el resultado de directo de deficiencias de diseo pueden identificarse en el DFMEA y ser atendidas en el FMEA de Proceso Otro objetivo es identificar las caractersticas que mejoren la robustez del diseo que pueda compensar variaciones en proceso 76 Modelo DFMEA Paso 2 Ocurrencia Ocurrencia es la probabilidad de que una causa/mecanismo (listado en la columna previa) ocurra durante la vida del diseo El rango de ocurrencia tiene un significado relativo ms que sea absoluto

La prevencin o control de las Causas / Mecanismos del modo de falla se realiza a travs de cambios de diseo o cambios de diseo del proceso para reducir la ocurrencia 77 Modelo DFMEA Paso 2 Estimacin de la Ocurrencia Cul es el historial de servicio y campo experimentado con artculos similares? El artculo es similar al utilizado en niveles anteriores de subsistemas? El componente es radicalmente diferente de los anteriores? Ha cambiado la aplicacin del componente? Se han instalado controles preventivos en el proceso?

Cules son los cambios en el ambiente? Se ha realizado un anlisis anltico de la prediccin de confiabilidad para estimar la tasa de ocurrencia? 78 Rangos de Ocurrencia (AMEFD) Ocurrencia Criterios Remota fallas con idntico Falla improbable. No existen asociadas con este producto o un producto / Servicio casi Muy Poca con Servicio Slo fallas aisladas asociadas este producto / casi idntico Poca Fallas aisladas asociadas con productos / Servicios similares

Moderada Este producto / Servicio ha tenido fallas ocasionales RangoProbabilidad de Falla 1 <1 en 1,500,000 Zlt > 5 2 4.5 1 en 150,000 Zlt > 3 1 en 30,000 Zlt > 4 4 Alta Este producto / Servicio ha fallado a menudo 800

Muy alta La falla es casi inevitable 2.5 1 en 4,500 Zlt > 3.5 5 Zlt > 3 1 en 150 7 1 en 50 8 1 en 15 1.5ocurrencia de la Nota: El criterio se basa en la probabilidad de causa/mecanismo. Se puede basar en el desempeo de un 9 1 en 6 diseo similar en una aplicacin similar. 10 >1 en 3 1 en 6 Zlt > Zlt > 2 Zlt > Zlt > 1

Zlt < 1 Ocurrencia 80 Clasificacin Cuando el Modo de falla/causa tien una severidad de 5 a 8 y una ocurrencia de 4 o mayor, entonces se tiene una caractertica significativa crtica potencial que se identifica con YS y se inicia el FMEA de proceso Estas caractersticas del producto afectan la funcin del producto y/o son importantes para la satisfaccin del cliente y pueden requerir condiciones especiales de manufactura, ensamble, embarque, monitoreo y/o inspeccin 81 Clasificacin 82 Modelo DFMEA Paso 3 Si las causas no se pueden eliminar en paso 1 o 2, Identificar

Controles actuales de prevencin usados para establecer la ocurrencia Controles actuales de deteccin (vg. Pruebas) usadas para establecer la Deteccin Determinar la efectividad de los controles de Deteccin en escala de 1 a 10 El RPN inicial (Risk Priority Number). Acciones Recomendadas (Prevencinn and Deteccin). Cuando ya se hayan implementado las acciones recomenddas, se revisa el formato DFMEA en relacin a la Severidad, Ocurrencia, Deteccin y RPN 83 Modelo DFMEA Paso 3 Controles de diseo actuales Listar las actividades terminadas para prevencin, vaidacin/verificacin del diseo (DV), u otras actividades que aseguran la adecuacin del diseo para el modo de falla y/o causa / mecanismo bajo consideracin Controles actuales (vg. Diseos falla/seguro como vlvulas de alivio, revisiones de factibilidad, CAE,

Confianilidad y robustez analtica) son los que han sido o estan usndose con los mismos diseos o similares. El equipo siempre debe enfocarse a mejorar los controles de diseo, por ejemplo la creacin de nuevos sistemas de prueba en el laboratorio, o la creacin de muevos algoritmos de modelado, etc. 84 Modelo DFMEA Paso 3 Controles de diseo actuales Hay dos tipos de controles de diseo: Prevencin y deteccin De prevencin: De deteccin: Previenen la ocurrencia de la causa/mecanismo o Modo de falla/efecto reduciendo la tasa de

Ocurrencia Detectan la causa/mecanismo o Modo de falla/efecto ya sea por mtodos analticos o fsicos antes que el artculo se libere para Poduccin Si solo se usa una columna indicarlos con P o D 85 Modelo DFMEA Paso 3 Controles de diseo actuales Identificacin de controles de diseo Si una causa potencial no fue analizada, el producto con deficiencia de diseo pasar a Produccin. Una forma de detectarlo es con su Modo de falla resultante. Se debe tomar accin correctiva Identificar controles de diseo como sigue: 1. Identificar y listar los mtodos que puedan ser utilizados para detectar el modo de falla, como: 86 1. FMEA anteriores, Planes de DV anteriores, Lista Modelo DFMEA Paso 3 Controles de diseo actuales 2. Listar todos los controles de diseo histricos que puedan ser suados para causas de primer nivel listadas. Revisar reportes histricos de pruebas 3. Identificar otros mtodos posibles preguntando:

De que manera puede la causa de este modo de falla ser reconocida? Cmo puedo descubrir que esta causa ha ocurrido? De que manera este modo de falla puede ser reconocido? Cmo puedo descubrir que este modo de falla ha ocurrido? 87 Modelo DFMEA Paso 3 Deteccin Cuando se estima una tasa de Deteccin, considerar solo los controles que sern usados para detectar los Modos de Falla o sus Causas. Los controles intencionados para prevenir o reducir la Ocurrencia de una Causa o Modo de falla son considerados al estimar la tasa de Ocurrencia Si los controles de prevencin no detectan deben ser calificadas con 10 Solo se deben considerar los mtodos que son usados antes de la liberacin a Produccin para estimar la tasa de Deteccin Los programas de verificacin de diseo deben basarse en la efectividad de los controles de diseo

88 Modelo DFMEA Paso 3 Deteccin Para evaluar la efectividad de cada control de diseo considerar las siguientes categoras (de mayor a menor): Mtodos de anlisis de diseo Modelado y simulacin probada (vg. Anlisis de elementos finitos) Estudios de tolerancias (vg. Tolerancias deomtricas dimensionales) Estudios de compatibilidad de materiales (vg. Expansin trmica, corrosin) Revisin de diseo subjetiva Mtodos de desarrollo de pruebas: Diseo de experimentos/ experimentos de peor caso (vg. Ruido) 89 Modelo DFMEA Paso 3 Deteccin Mtodos de desarrollo de pruebas (cont): Pruebas en muestras de pre-produccin o prototipo

Maquetas usando partes similares Pruebas de durabilidad (verificacin de diseo) Nmero de muestras a ser probadas Muestra significativa estadsticamente Cantidad pequea, no significativa estadsticamente Oportunidad de la aplicacin de control de diseo Desde la etapa de diseo del concepto (vg. Decisin del tema) Al tener prototipos de ingeneira Justo antes de liberarse a Produccin 90 Rangos de Deteccin (AMEFD) Rango de Probabilidad de Deteccin basado en la efectividad del Sistema de Control Actual; basado en el cumplimiento oportuno con el Plazo Fijado 1 Detectado antes del prototipo o prueba piloto

2-3 Detectado antes de entregar el diseo 4-5 Detectado antes del lanzamiento del servicio 6-7 Detectado antes de la prestacin del servicio 8 Detectado antes de prestar el servicio 9 Detectado en campo, pero antes de que ocurra la falla o error 10 No detectable hasta que ocurra la falla o error en campo Rangos de Deteccin (AMEFD) DFMEA Clculo del riesgo El nmero de prioridad del rieso (RPN) es el producto de

Severidad (S), Ocurrencia (O) y Deteccin (D) RPN = (S) x (O) x (D) con valores entre 1 y 1000 Puede usarse como en un Pareto para priorizar riesgos potenciales con efectos que tengan las tasas ms altas de severidad Atender los aspectos con Severidad 9 o 10 y despus los efectos con Severidad alta; los de criticalidad alta (S x O) y al final los que tienen RPNs ms altos 93 DFMEA Acciones recomendadas Considerar acciones como las siguientes: Revisin del diseo de la Geometra y/o tolerancias Revisin de especificacin de materiales Diseos de experimentos (con mltiples causas interactuando) u otras tcnicas de solucin de problemas Revisin de planes de prueba Sistemas redundantes dispositivos de aviso estados de falla (ON y OFF)

El objetivo primario de las acciones recomendadas es reducir riesgos e incrementar la satisfaccin del cliente al mejorar el diseo. Para reducir la severidad es necesario un cambio de diseo 94 DFMEA Acciones tomadas Se identifica la organizacin y persona responsable para las acciones recomendadas y la fecha de terminacin Dar seguimiento: Desarrollar una lista de caractersticas especiales parasu consideracin en el DFMEA Dar seguimiento a todas las acciones recomendadas y actualizar las acciones del DFMEA Despus de que se implementa una accin, anotar una descripcin breve y la fecha de efectividad 95 DFMEA Nivel de riesgo RPN Despus de haber implementado las acciones preventivas/correctivas, registrar la nueva Severidad,

Ocurrencia y Deteccin Calcular el nuevo RPN Si no se tomaron acciones en algunos aspectos, dejarlos en blanco 96 DFMEA Lista de verificacin de robustez Es una salida del proceso integrado de robustez: Resume los atributos de robustez clave y controles de diseo Enlaza el DFMEA y los 5 factores de ruido del diseo al Plan de verificacin de diseo (DVP); vg., esta lista es una entrada al DVP Debe ser un documento clave a revisar como parte del proceso de revisin de diseo

97 FMEA de Proceso - PFMEA 98 FMEA de Proceso 99 PFMEA Equipo Se inicia por el Ing. responsable de la actividad, en conjunto con un equipo de personas expertas adems de incluir personas de apoyo Alcance Define que es incluido y que es excluido 100 Entradas al PFMEA Diagrama de flujo del proceso

El equipo debe desarrollar el flujo del proceso, preguntando Qu se supone que hace el proceso?; Cul es su propsito?; Cul es su funcin? El Diagrama P es una entrada opcional al PFMEA 101 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Equipo de Trabajo ___________ Pagina _______de _______ FECHA (orig.) de FMEA ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin del Producto/ Paso del

proceso Efecto (s) Modos de Falla Potencial (es) Potenciales de falla S e v . Causa(s) Potencial(es) o Mecanismos de falla O c c u r Controles de Diseo o Proceso Actuales D e R Accin t P

Sugerida e N c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N 102 Modelo del PFMEA Paso 1 Identificar todos los requerimientos funcionales dentro del alcance Identificar los modos de falla correspondientes Identificar un conjunto de efectos asociados para cada modo de falla

Identificar la calificacin de severidad para cada conjunto de efectos que de prioridad el modo de falla De ser posible, tomar acciones para eliminar modos de falla sin atender las causas 103 Modelo de PFMEA Paso 1 Requerimientos de la funcin del proceso Contiene caractersticas de ambos el producto y el proceso Ejemplos Operacin No. 20: Hacer perforacin de tamao X de cierta profundidad Operacin No. 22: Realizar el subensamble X al ensamble Y 104

ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Equipo de Trabajo ___________ Pagina _______de _______ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin S Funcin Efecto (s) e de Modos de Falla Potencial (es) v Componente/Paso Potenciales de falla . de proceso O D

Causa(s) Controles del c e R Potencial(es) Diseo / Accin c t P de los Mecanismos Proceso Sugerida u e N de falla Actual r c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N Factura correcta Relacione las

funciones del diseo del componente Pasos del proceso Del diagrama de flujo 105 Modelo de PFMEA Paso 1 Modos de falla potenciales No funciona Funcionamiento parcial / Sobre funcin / Degradacin en el tiempo Funcionamiento intermitente Funcin no intencionada Los modos de falla se pueden categorizar como sigue: Manufactura: Dimensional fuera de tolerancia Ensamble: Falta de componentes Recibo de materiales: Aceptar partes no conformes Inspeccin/Prueba: Aceptar partes equivocadas 106 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________

Ensamble ________________ Prepar _______________ Equipo de Trabajo ___________ Pagina _______de _______ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin del componente/ Paso del proceso Factura correcta O Causa(s) Controles de Efecto (s) D c Modos de Falla Potencial(es) Diseo / Potencial (es) i c Potenciales de los Mecanismos Proceso de falla

v u de falla Actuales r Datos incorrectos D e R Accin t P Sugerida e N c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N Identificar modos de falla Tipo 1 inherentes al diseo 107

Modelo de PFMEA Paso 1 Efectos de las fallas potenciales (consecuencias en) Seguridad del operador Siguiente usuario Usuarios siguientes Mquinas / equipos Operacin del producto final Cliente ltimo Cumplimiento de reglamentaciones gubernamentales 108 Modelo de PFMEA - Paso 1 Efectos de las fallas potenciales (en usuario final)

Ruido Operacin errtica Inoperable Inestable Apariencia mala Fugas Excesivo esfuerzo Retrabajos / reparaciones Insatisfaccin del cliente 109 Modelo de PFMEA Paso 1 Efectos de las fallas potenciales (en siguiente operacin) No se puede sujetar

No se puede tapar No se puede montar Pone en riesgo al operador No se ajusta No conecta Daa al equipo Causa excesivo desgaste de herramentales 110 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Equipo de Trabajo ___________ Pagina _______de _______ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin Efecto (s) del componente Modos de Falla Potencial (es) / Paso del Potenciales de falla

proceso D i v Causa(s) Potencial(es) oMecanismos de falla O c c u r Controles de Diseo / Proceso Actuales Factura correcta Datos incorrectosLOCAL: Rehacer la factura MAXIMO PROXIMO Contabilidad equivocada CON CLIENTE Molestia Insatisfaccin

Describir los efectos de modo de falla en: LOCAL El mayor subsecuente Y Usuario final CTQs del QFD o Matriz de Causa Efecto D e R Accin t P Sugerida e N c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N CRITERIO DE EVALUACIN DE SEVERIDAD SUGERIDO PARA AMEFP Esta calificacin resulta cuando un modo de falla potencial resulta en un defecto con un cliente final y/o una planta de manufactura / ensamble. El cliente final debe ser siempre considerado primero. Si ocurren ambos, use la mayor de las dos severidades Efecto

Efecto en el cliente Efecto en Manufactura /Ensamble Calificacin de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operacin segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulacin gubernamental, sin aviso Calificacin de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operacin segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulacin gubernamental, con aviso El producto / item es inoperable ( prdida de la funcin primaria) Puede exponer al peligro al operador (mquina o ensamble) sin aviso Cali f. 10 Puede exponer al peligro al operador (mquina o ensamble) sin aviso 9 El 100% del producto puede tener que ser desechado op reparado con un tiempo o costo infinitamente mayor 8 Alto

El producto / item es operable pero con un reducido nivel de desempeo. Cliente muy insatisfecho El producto tiene que ser seleccionado y un parte desechada o reparada en un tiempo y costo muy alto 7 Modera do Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia es inoperable. Cliente insatisfecho Una parte del producto puede tener que ser desechado sin seleccin o reparado con un tiempo y costo alto 6 Bajo Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia son operables a niveles de desempeo bajos El 100% del producto puede tener que ser retrabajado o reparado fuera de lnea pero no necesariamente va al rea de retrabajo . 5 Muy

bajo No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 75% de los clientes El producto puede tener que ser seleccionado, sin desecho, y una parte retrabajada 4 Menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 50% de los clientes El producto puede tener que ser retrabajada, sin desecho, en lnea, pero fuera de la estacin 3 Muy menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos, y rechinidos. Defecto notado por clientes muy crticos (menos del 25%) El producto puede tener que ser retrabajado, sin desecho en la lnea, en la estacin 2 Ninguno

Sin efecto perceptible Ligero inconveniente para la operacin u operador, o sin efecto 1 Peligros o sin aviso Peligros o con aviso Muy alto Modelo de PFMEA Paso 1 Severidad La severidad es la seriedad de cada efecto, poner la severidad del efecto ms crtico para cada modo de falla 113 Modelo de PFMEA Paso 1 114

CRITERIO DE EVALUACIN DE SEVERIDAD SUGERIDO PARA PFMEA Esta calificacin resulta cuando un modo de falla potencial resulta en un defecto con un cliente final y/o una planta de manufactura / ensamble. El cliente final debe ser siempre considerado primero. Si ocurren ambos, use la mayor de las dos severidades Efecto Efecto en el cliente Efecto en Manufactura /Ensamble Calificacin de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operacin segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulacin gubernamental, sin aviso Calificacin de severidad muy alta cuando un modo potencial de falla afecta la operacin segura del producto y/o involucra un no cumplimiento con alguna regulacin gubernamental, con aviso El producto / item es inoperable ( prdida de la funcin primaria) Puede exponer al peligro al operador (mquina o ensamble) sin aviso Cali f. 10 Puede exponer al peligro al operador (mquina o ensamble) sin aviso 9 El 100% del producto puede tener que ser desechado op reparado con un tiempo o costo infinitamente mayor

8 Alto El producto / item es operable pero con un reducido nivel de desempeo. Cliente muy insatisfecho El producto tiene que ser seleccionado y un parte desechada o reparada en un tiempo y costo muy alto 7 Modera do Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia es inoperable. Cliente insatisfecho Una parte del producto puede tener que ser desechado sin seleccin o reparado con un tiempo y costo alto 6 Bajo Producto / item operable, pero un item de confort/conveniencia son operables a niveles de desempeo bajos El 100% del producto puede tener que ser retrabajado o reparado fuera de lnea pero no

necesariamente va al rea de retrabajo . 5 Muy bajo No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 75% de los clientes El producto puede tener que ser seleccionado, sin desecho, y una parte retrabajada 4 Menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos y rechinidos. Defecto notado por el 50% de los clientes El producto puede tener que ser retrabajada, sin desecho, en lnea, pero fuera de la estacin 3 Muy menor No se cumple con el ajuste, acabado o presenta ruidos, y rechinidos. Defecto notado por clientes muy crticos (menos del 25%) El producto puede tener que ser retrabajado, sin

desecho en la lnea, en la estacin 2 Ninguno Sin efecto perceptible Ligero inconveniente para la operacin u operador, o sin efecto 1 Peligros o sin aviso Peligros o con aviso Muy alto Modelo de PFMEA Paso 2 Paso 2 identificar: Las causas asociadas (primer nivel y raz) Su tasa de ocurrencia

La designacin apropiada de la caracterstica indicada en ola columna de clasificacin Acciones recomendadas para alta severidad y criticalidad (S x O) as como la Seguridad del operador (OS) y errores de proceso de alto impacto (HI) 116 Modelo de PFMEA Paso 2 Causa/Mecanismo potencial de falla Describe la forma de cmo puede ocurrir la falla, descrito en trminos de algo que puede ser corregido o controlado Se debe dar priorioridad a rangos de prioridad de 9 o 10 Ejemplos, especificar claramente: Torque inadecuado (bajo o alto) Soldadura iandecuada (corriente, tiempo, presin)

Lubricacin inadecuada 117 Efecto(s) Potencial(es) de falla Evaluar 3 (tres) niveles de Efectos del Modo de Falla Efectos Locales Efectos en el rea Local Impactos Inmediatos Efectos Mayores Subsecuentes Entre Efectos Locales y Usuario Final Efectos Finales Efecto en el Usuario Final del producto o 118 Modelo de PFMEA Paso 2 Suposicin 1: Los materiales para la operacin son correctos Ajuste de herramentales a la profundidad equivocada Desgaste de herramentales Temperatura del horno muy alta

Tiempo de curado muy corto Presin de aire muy baja Velocidad del transportador no es constante Jets de lavadora desconectados 119 Modelo de PFMEA Paso 2 Suposicin 2: Los materiales para la operacin tienen variacin Material demasiado duro / suave / quebradizo La Dimensin no cumple especificaciones El acabado superficial de la operacin 10 no cumple especificaciones El localizador de perforacin fuera de posicin correcta 120 Modelo de PFMEA Paso 2 Ocurrencia:

Es la probabilidad de que una causa/mecanismo ocurra Se puede reducir o controlar solo a travs de un cambio de diseo Si la ocurrencia de la causa no puede ser estimada, entonces estimar la tasa de falla posible 121 Modelo de PFMEA Paso 2 Ocurrencia 122 CRITERIO DE EVALUACIN DE OCURRENCIA SUGERIDO PARA AMEFP Probabilidad Indices Posibles de ppk Calif. falla Muy alta: Fallas < 0.55 10 100 por mil piezas persistentes 50 por mil > 0.55

9 piezas Alta: Fallas frecuentes 20 por mil > 0.78 8 piezas 10 por mil > 0.86 7 piezas Moderada: Fallas 5 por mil > 0.94 6 ocasionales piezas 2 por mil > 1.00 5 piezas 1 por mil > 1.10 4 piezas Baja : Relativamente 0.5 por mil > 1.20 3 pocas fallas piezas 0.1 por mil > 1.30

2 piezas Remota: La falla es < 0.01 por mil > 1.67 1 improbable piezas Modelo de PFMEA Paso 2 Clasificacin de caractersticas especiales si: Afectan la funcin del producto final, cumplimiento con reglamentaciones gubernamentales, seguridad de los operadores, o la satisfaccin del cliente, y Requieren controles especiales de manufactura, ensamble, proveedores, embarques, monitoreo y/o inspeccin o seguridad 124 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________

Ensamble ________________ Prepar _______________ Equipo de Trabajo ___________ Pagina _______de _______ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin Efecto (s) del componente Modos de Falla Potencial (es) / Paso del Potenciales de falla proceso La abertura del engrane propor La abertura no ciona una aber- es suficiente tura de aire entre diente y diente S e v . Causa(s) Potencial(es) o Mecanismos

de falla O c c u r Controles de Diseo / Proceso Actuales D e R Accin t P Sugerida e N c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N LOCAL:

Dao a sensor de velocidad y engrane MAXIMO PROXIMO Falla en eje 7 Usar tabla para determinar severidad o gravedad CON CLIENTE Equipo parado 125 Modelo de PFMEA Paso 2 126 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Equipo de Trabajo ___________

Pagina _______de _______ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin S Efecto (s) del e Modos de Falla Potencial (es) Componente / v Potenciales de falla Paso del . proceso Factura correcta Datos equivocadso Causa(s) Potencial(es) o Mecanismos de falla O Controles de c Diseo/ c Proceso u

Actuales r D e R Accin t P Sugerida e N c 3 Rango de probabilidades en que la causa identificada ocurra LOCAL: Rehacer la factura MAXIMO PROXIMO Contabilidad erronea CON CLIENTE Molestia Insatisfaccin 7 Responsable y fecha lmite

de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N Modelo de PFMEA Paso 3 En el paso 3 identificar: Controles actuales de prevencin del proceso (con acciones de diseo o proceso) usados para establecer la ocurrencia Controles actuales de deteccin (vg. Inspeccin) usados para establecer la tasa de deteccin Efectividad de los controles de deteccin del proceso en una escala de 1 a 10 El factor de riesgo RPN inicial Acciones recomendadas (Prevencin y Deteccin)

128 Identificar Causa(s) Potencial(es) de la Falla Causas relacionadas con el diseo - Caractersticas del servicio o Pasos del proceso Diseo de formatos Asignacin de recursos Equipos planeados Causas que no pueden ser Entradas de Diseo, tales como: Ambiente, Clima, Fenmenos naturales Mecanismos de Falla Rendimiento, tiempo de entrega, informacin completa 129 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Pagina _______de _______ Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin

Funcin de Artculo Efecto (s) Modos de Falla Potencial (es) Potenciales de falla S e v . Factura correcta Datos incorrectosLOCAL: Rehacer la factura MAXIMO PROXIMO Contabilidad 7 erronea CON CLIENTE Molestia Insatisfaccin O Causa(s) Controles de c Potencial(es)

Diseo/Proces c de los Mecanismos o Actuales u de falla r D e R Accin t P Sugerida e N c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N Identificar causas de diseo, y mecanismos de falla que pueden ser sealados para los modos de falla

identificada. Causas potenciales De Diagrama de Ishikawa Diagrama de rbol o Diagrama de relaciones 130 Modelo de PFMEA Paso 3 Controles de proceso actuales: Son una descripcin de los controles ya sea para prevenir o para detectar la ocurrencia de los Modos/causas de falla Consideraciones Incrementar la probabilidad de deteccin es costosa y no efectiva

A veces se requiere un cambio en el diseo para apoyar la deteccin El incremento del control de calidad o frecuencia de inspeccin slo debe utilizarse como medida temporal Se debe hacer nfasis en la prevencin de los defectos 131 Identificar Controles de Diseo o de Proceso Actuales Verificacin/ Validacin de actividades de Diseo o control de proceso usadas para evitar la causa, detectar falla anticipadamente, y/o reducir impacto: Clculos, Anlisis, Prototipo de Prueba, Pruebas piloto Poka Yokes, planes de control, listas de verificacin Primera Lnea de Defensa - Evitar o eliminar causas de falla o error Segunda Lnea de Defensa - Identificar o detectar fallas o 132 errores Anticipadamente ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________

Prepar _______________ Equipo de Trabajo ___________ Pagina _______de _______ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin S Efecto (s) del e Modos de Falla Potencial (es) Componente / v Potenciales de falla Paso del . proceso Causa(s) Potencial(es) o Mecanismos de falla O Controles de c Diseo / c

Proceso u Actuales r Factura correcta Datos correctos LOCAL: Rehacer la factura MAXIMO PROXIMO Contabilidad erronea 7 3 D e R Accin t P Sugerida e N c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R

e c e P v c t N Cul es el mtodo de control actual que usa ingeniera para evitar el modo de falla? CON CLIENTE Molestia Insatisfaccin 133 Modelo de PFMEA Paso 3 Seleccionar un rango en la tabla de deteccin Si se usa inspeccin automtica al 100% considerar: La condicin del gages La calibracin del gage La variacin del sistema de medicin del gage Probabilidad de falla del gage Probabilidad de que el sistema del gage sea punteado Si se usa inspeccin visual al 100% considerar:

Es efectiva entre un 80 a 100% dependiendo del proc. El nmero de personas que pueden observar el modo de falla potencialmente La naturaleza del modo de falla - es claro o confuso? 134 CRITERIO DE EVALUACIN DE DETECCION SUGERIDO PARA AMEFP Detecci Criterio Tipos de n Mtodos de seguridad de Rangos de Deteccin Inspeccin A B Cali f C Casi

imposibl e Muy remota Certeza absoluta de no deteccin X Los controles probablemente no detectarn X Remota Los controles tienen poca oportunidad de deteccin X Muy baja Los controles tienen poca oportunidad de deteccin X Baja Los controles pueden detectar

X Moderad a Los controles pueden detectar Moderad amente Alta Alta Los controles tienen una buena oportunidad para detectar 10 9 8 7 El control es logrado con mtodos grficos con el CEP 6 X El control se basa en mediciones por variables despus de que las partes dejan la estacin, o en dispositivos Pasa NO pasa realizado en el 100% de las partes despus de que las partes han dejado la estacin 5

X X Deteccin de error en operaciones subsiguientes, o medicin realizada en el ajuste y verificacin de primera pieza ( solo para causas de ajuste) 4 Los controles tienen una buena oportunidad para detectar X X Deteccin del error en la estacin o deteccin del error en operaciones subsiguientes por filtros multiples de aceptacin: suministro, instalacin, verificacin. No puede aceptar parte discrepante 3 Muy Alta Controles casi seguros para detectar X X

Deteccin del error en la estacin (medicin automtica con dispositivo de paro automtico). No puede pasar la parte discrepante 2 Muy Alta Controles seguros para detectar X No se pueden hacer partes discrepantes porque el item ha pasado a prueba de errores dado el diseo del proceso/producto 1 Tipos de inspeccin: A) A prueba de error X No se puede detectar o no es verificada El control es logrado solamente con verificaciones indirectas o al azar El control es logrado solamente con inspeccin visual El control es logrado solamente

con doble inspeccin visual B) Medicin automatizada C) Inspeccin ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Pagina _______de _______ Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin Efecto (s) del Modos de Falla Potencial (es) Componente / Potenciales de falla Paso del proceso S

e v . Causa(s) Potencial(es) o Mecanismos de falla O c c u r Controles de Diseo / Proceso Actuales D e R Accin t P Sugerida e N c Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin

Adoptada S O D R e c e P v c t N Factura correcta Datos incorrectosLOCAL: Rehacer la factura MAXIMO PROXIMO Contabilidad erronea 7 3 5 Cul es la probabilidad de detectar la causa de falla? CON CLIENTE Molestia Insatisfaccin 136 Modelo de PFMEA Paso 3 137

Modelo de PFMEA Paso 3 138 Modelo de PFMEA Paso 3 Nmero de prioridad de riesgo Se calcula como RPN = (S) x (O) x (D) Acciones recomendadas Se deben dirigir primero a las de valores altos de Severidad (9 o 10) o RPNs, despus continuar con las dems Las acciones se deben orientar a prevenir los defectos a travs de la eliminacin o reduccin de las causas o modos de falla 139 Calcular RPN (Nmero de Prioridad de Riesgo) Producto de Severidad, Ocurrencia, y Deteccin

RPN / Gravedad usada para identificar principales CTQs Severidad mayor o igual a 8 RPN mayor a 150 140 Planear Acciones Requeridas para todos los CTQs Listar todas las acciones sugeridas, qu persona es la responsable y fecha de terminacin. Describir la accin adoptada y sus resultados. Recalcular nmero de prioridad de riesgo . Reducir el riesgo general del diseo 141 Modelo de PFMEA Paso 3 Acciones tomadas

Identificar al responsable de las acciones recomendadas y la fecha estimada de terminacin Despus de terminar una accin, dar una descripcin breve de la accin real y fecha de efectividad Responsabilidad y fechas de terminacin Desarrollar una lista de caractersticas especiales proporcionndola al diseador para modificar el DFMEA Dar seguimiento a las acciones recomendadas y actualizar las ltimas columnas del FMEA 142 Modelo de PFMEA Paso 3 RPN resultante Despus de implementadas las acciones recomendadas, estimar de nuevo los rangos de Severidad, Ocurrencia y Deteccin y calcular el

nuevo RPN. Si no se tomaron acciones dejarlo en blanco. Salidas del PFMEA Hay una relacin directa del PFMEA a el Plan de Control del proceso 143 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________ AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Pagina _______de _______ Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin Funcin de Artculo Factura

incorrecta Efecto (s) Modos de Falla Potencial (es) Potenciales de falla Datos incorrectos S e v . O Causa(s) c Potencial(es) Controles de c de los Mecanismos Diseo Actual u de falla r D e t e c

R P N Accin Sugerida Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N LOCAL: Rehacer la factura Riesgo = Severidad x Ocurrencia x Deteccin MAXIMO PROXIMO Contabilidad erronea CON CLIENTE Molestia Insatisfaccin

7 3 5 105 Causas probables a atacar primero 144 ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseo / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseo ____________ AMEF Nmero _________________ Ensamble ________________ Prepar _______________ Pagina _______de _______ Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de AMEF ______(rev.) ______ Resultados de Accin S Funcin Efecto (s) e

del componente Modos de Falla Potencial (es) v / Paso del Potenciales de falla . proceso Factura correcta Datos erroneos Causa(s) Potencial(es) o Mecanismos de falla O Controles de c Diseo / c Prcoeso u Actuales r D e t e c R

P N 3 5 105 Accin Sugerida Responsable y fecha lmite de Terminacin Accin Adoptada S O D R e c e P v c t N LOCAL: Rehacer la factura MAXIMO PROXIMO Contabilidad erronea CON CLIENTE Molestia Insatisfaccin

7 Usar RPN para identificar acciones futuras. Una vez que se lleva a cabo la accin, recalcular el RPN. 145 FMEA de Concepto DFMEA 146 CDFMEA Entradas al FMEA de Concepto El diagrama de flujo, diagrama de lmites, Matriz de interfase y Diagrama P pueden ser menos detallados que para el DFMEA o PFMEA La columna de clasificacin no se utiliza Causas potenciales / Mecanismo de falla Es importante analizar las interfases e interacciones donde los modos de falla deben ser atendidos antes de

aprobar el conceptp Deben incluirse los factores humanos como fuentes de falla potenciales. El cliente puede interactuar con un elemento en el Diagrama de lmites o en el Diagrama de flujo Algunos modos de falla y causas se pueden eliminar con cambios como agregar redundancia al sistema propuesto 147 CDFMEA Ocurrencia Frecuentemente se toma 10 ya que no se puede estimar en este tiempo. Una accin recomendada es necesaria para eliminar la causa. Lo mismo se aplica a las tasas de Ocurrencia altas Controles actuales Si no se conocen poner No identificado en este momento o No se conoce la prevencin o deteccin

Ejemplos: Simulacin, modelos matemticos, pruebas de laboratorio en elementos, anlisis de elementos finitos, etc. 148 CDFMEA Deteccin Puede ser Sin deteccin en este momento con una estimacin de 10. Se recomienda tomar una accin para identificar e implementar un mtodo de deteccin Nivel de riesgo = RPN = (S) x (O) x (D) Acciones recomendadas para altos RPNs Modificar la propuesta para reducir la ocurrencia Agregar un sistema redundante para confiabilidad Agregar dispositivos de deteccin para que el cliente tome acciones que prevengan modos de falla Especificar un cierto tipo de material 149 Herramientas para el FMEA

150 Herramientas Diagramas de lmites Diagramas de flujo de proceso Matriz de caractersticas Tormenta de ideas rboles de funciones Lista de efectos: FMEA de diseo Lista de efectos: FMEA de proceso Diagrama de Ishikawa Tecnica de preguntas 151 Herramientas

Anlisis de rbol de fallas (FTA) Anlisis del modo de falla (FMA) Diseo de experimentos (DOE) Proceso de solucin de problemas de 8Ds Planes de Control Planeacin dinmica de control (DCP) Despliegue de la funcin de calidad (QFD) Anlisis de valor/ Ingeniera del valor (VA/VE) REDPEPR FMEA Express FMEA del software 152 Diagrama de lmites Diagramas de lmites de funciones Salida del anlisis de funciones para la fase de concepto CFMEA, ilustran funciones en vez de partes Diagramas de lmites Hardware/funcional

Dividen al sistema en elementos ms pequeos desde un punto de vista funcional. Muestran relaciones fsicas, se usan en los DFMEAs. 153 Nombres de verbos tiles 154 Tormenta de ideas Seleccionar el problema a tratar. Pedir a todos los miembros del equipo generen ideas para la solucin del problema, las cuales se anotan en el pizarrn sin importar que tan buenas o malas sean estas. Ninguna idea es evaluada o criticada antes de considerar todos los pensamientos concernientes al problema. Aliente todo tipo de ideas, ya que al hacerlo pueden surgir

cosas muy interesantes, que motivan a los participantes a generar ms ideas. Apruebe la naturalidad y el buen humor con informalidad, en este punto el objetivo es tener mayor cantidad de ideas Se les otorga a los participantes la facultad de modificar o mejorar las sugerencias de otros. Una vez que se tengan un gran nmero de ideas el facilitador procede a agrupar y seleccionar las mejores ideas por medio del consenso del grupo Las mejores ideas son discutidas y analizadas con el fin del proponer una solucin. 155 Herramientas para el FMEA rbol de funciones Ayuda a que los requerimientos del cliente no expresados explcitamente sobre el producto o proceso se cumplan Es conveniente describir las funciones de un producto o proceso por un verbo pronombre medible, por ejemplo: Calentar el interior a XC

Enfriar a los ocupantes a XC Eliminar la niebla del parabrisas en X segundos 156 Tcnica de preguntas Hacer una oracin con el modo de falla, causa y efecto y ver si la oracin tiene sentido. Un modo de falla es debido a una causa, el modo de falla podra resultar en efectos, por ejemplo: MODO DE FALLA: No ajustan los faros delanteros P: Qu podra ocasionar esta falla? R: La luz desalineada -> Efecto P: A que se puede deber esta falla? R: Cuerda grande en tornillo de ajuste -> Causa El No ajuste de faros delanteros se debe a Cuerda grande en tornillo de ajuste. El desajuste de los faros ocasiona haces de luz desalineados 157 Tcnica de preguntas Paso 3 Paso 1 Qu lo causa? Modo de falla Paso 2 Qu efecto tiene?

158 Anlisis de rbol de fallas (FTA) Es una tcnica analtica deductiva que usa un rbol para mostrar las relaciones causa efecto entre un evento indeseable (falla) y las diversas causas que contribuyen. Se usan smbolos lgicos para interconectar las ramas Despus de hacer el FTA e identificadas las causas raz, se pueden determinar las acciones preventivas o los controles necesarios Otra aplicacin es determinar las probabilidades de las causas que contribuyen a la falla y propagarlas hacia adelante 159 Anlisis del Modo de Falla (FMA) Es un enfoque sistemtico disciplinado para cuantificar el modo de falla, tasa de falla, y causa raz de fallas o tasas de reparacin conocidas (el FMEA para las desconocidas)

Se basa en informacin histrica de garantas, datos de campo, datos de servicios, y/o datos de procesos Se usa para identificar la operacin, modos de falla, tasas de falla y parmetros crticos de diseo de hardware o procesos. Tambin permite identificar acciones correctivas para causas raz actuales 160 Diseo de experimentos (DOE) Es un mtodo para definir los arreglos en cuales se puedas realizar experimentos, donde se cambian de manera controlada las variables independientes de acuerdo a un plan definido y se determinan los efectos Para pruebas de confiabilidad el DOE usa un enfoque estadstico para disear pruebas para identificar los factores primarios que causas eventos indeseables Se usan para identificar causas raz de modos de falla,

cuando varios factores pueden estar contribuyendo o cuando estos factores estn interrelacionados y se desean conocer los efectos de sus interacciones 161 Mtodo de 8 disciplinas (8Ds) Es un mtodo de solucin de problemas orientado a equipos de trabajo, las disciplinas o pasos son: Preparar el proceso Establecer el equipo Describir el problema Desarrollar las acciones de contencin o contingentes Diagnosticar el problema (definir y verificar causa raz) Seleccionar y verificar acciones correctivas permanentes (PCAs) para causas raz y puntos de escape Implementar y validar PCAs Reconocer contribuciones del equipo y los miembros

162 Planes de control Es una descripcin escrita del sistema para controlar el proceso de produccin Lista todos los parmetros del proceso y caractersticas de las partes caractersticas de las partes que requiere acciones especficas de calidad El plan de control contiene todaslas caractersticas crticas y significativas Hay planes de control a nivel de manufactura de: Prototipos, produccin piloto (capacidad de procesos) y de produccin 163 Planeacin dinmica de control (DCP) Es un procesos que liga las herramientas de calidad para construir planes de control robustos a travs de un equipo 1.

Lanzamiento definir los requerimientos de recursos 2. Estructura del equipo central y de soporte 3. Bitcora de preguntas 164 Planeacin dinmica de control (DCP) 4. Informacin de soporte (ES, DFMEAs, DVP&R, PFMEA, etc.) 5. Diagrama de flujo y carctersticas de enlace 6. Pre lanzamiento o controles preliminares 7. PFMEA 8. Plan de control 9. Desarrollar ilustraciones e instrucciones 10. Implementar y mantener 165 Despliegue de la funcin de calidad (QFD) El QFD es un mtodo estructurado en el cual los requerimientos del cliente son traducidos en requerimientos tcnicos para cada una de las etapas

del desarrollo del producto y produccin El QFD es entrada al FMEA de diseo o al FMEA de concepto. Los datos se anotan en el FMEA como medidas en la columna de funcin La necesidad de obtener datos de QFD pueden ser tambin una salida del FMEA de concepto 166 Anlisis del valor / Ingeniera del valor (VA/VE) Son metodologas usadas comnmente para despliegue del valor. La Ingeniera del valor se realiza antes de comprometer el herramental. El anlisis del valor (VA) se realiza despus del herramentado. Ambas tcnicas usan la frmula: Valor = Funcin (primaria o secundaria) / Costo Los datos de VA/VE pueden ser entradas al FMEA de diseo o de proceso en columna de Funcin como funciones primaria y secundaria. Tambin pueden ser causas, controles o acciones recomendadas

La metodologa VA debe ser incluida en la revisin de FMEAs actuales como apoyo para evaluar riesgos y beneficios cuando se analizan varias propuestas 167 REDPEPR (Robust Engineering Design Product Enhacement Process) Es una herramienta que proporciona a los equipos de Diseo: Un proceso paso a paso para aplicar el RED Las herramientas necesarias para completar el diagrama P, listas de verificacin de confiabilidad y robustez (RRCL) y la matriz de demostracin de confiabilidad y robustez (RRDM) Preguntas y tips para guiar al equipo en el proceso Capacidad para generar reportes en Excel Un proceso para mejorar la comunicacin con el equipo de ingeneira El Web site donde se encuentra el software es www.redpepr.ford.com 168 Aplicaciones del FMEA Express Ambiental

De mquinas 169 FMEA Express Es un proceso que aplica tcnicas de FMEA simultaneamente tanto a los aspectos de diseo como a los de manufactura de un proyecto: Consiste de cuatro fases: Preparacin: Se forma un equipo directivo para definir el alcance del proyecto, equipo de trabajo multidisciplinario, coleccin de informacin y documentos de modos de falla conocidos, causas, efectos y controles 170 FMEA Express Desarrollo del FMEA: El equipo de trabajo multidisciplianrio completa el FMEA utilizando formatos y definiciones estndar Posterior a la tarea: El facilitador y el equipo directivo generan un reporte final y un plan de seguimiento. El lder del equipo de FMEA es responsable de monitorear el avance

Auditora de calidad: Despus de una verificacin de calidad, se proporciona un certificado de cumplimiento Software para el FMEA: www.quality.ford.com/cpar/fmea/ 171 E-FMEA ambiental 172 E-FMEA ambiental 173 Matriz de requerimientos ambientales con criterios mltiples Para cada alternativa de diseo resumir la siguiente informacin Uso de substancias prohibidas o de uso restringido Tipo y cantidad de residuos (refleja el nivel de materiales utilizados)

Consumo de energa por componente Consumo de agua por componente Otros objetivos ambientales 174 E-FMEA Ejemplos de acciones recomendadas (hacer una revisin previa de efectos secundarios en la vida del producto): Sistemas de conexin alternos Reciclar Rutas alternas de disposicin de residuos Uso de materiales naturales Revisar rutas de transporte Reducir trayectorias de proceso Optimizar el consumo de agua y energa 175 E-FMEA Salidas del FMEA ambiental: Recomendaciones de materiales

Recomendaciones de diseo (vg. Tipo de enlace) Recomendaciones de proceso (vg. Potencial de ahorro de energa) Recomendacin para rutas de disposicin 176 MFMEA FMEA de maquinaria 177 FMEA de maquinaria Su propsito es que a travs de un equipo se asegure que los modos de falla y sus causas/mecanismos asociados se hayan atendido Soporta el proceso de diseo en: Apoyar en la evaluacin objetiva de las funciones del equipo, requerimientos de diseo y alternativas de diseo

Incrementar la probabilidad de que los modos de falla y sus efectos en la maquinaria se han considerado en el proceso de diseo y desarrollo 178 FMEA de maquinaria Proporcionar informacin adicional como apoyo a la planeacin de todos los programas de diseo, prueba y desarrollo Desarrollar una lista de modos de falla potenciales en base a su efecto con el cliente, estableciendo prioridades para mejoras al diseo y desarrollo Proporcionar documentacin para referencia futura para el anlisis de problemas de campo, evaluando cambios de diseo y desarrollo de maquinaria. 179 FMEA de maquinaria Ejemplos de descripcin de funciones

Proceso de partes 120 tareas / hora Cabezal del ndice MTBF > 200 Hrs Control del flujo hidrulico 8p cl/seg. Sistema de posicin ngulo de rotacin de 30 Hacer un barreno Rendimiento a la primera 99.9% 180 FMEA de maquinaria Efectos potenciales como consecuencias de falla de subsistemas en relacin a seguridad y Las 7 grandes prdidas Falla prdidas resultado de una prdida funcional o reduccin de la funcin sobre una parte del equipo requiriendo intervencin de mantenimiento Preparacin y ajustes prdidas que son resultado de procedimientos de preparacin tal como

herramentado, cambio de modelo o cambio de molde. Los ajustes incluyen el tiempo muerto usado para ajustar el equipo para evitar defectos y bajo rendimiento, requiriendo intervencin del operador o ajustador 181 FMEA de maquinaria Tiempo de espera y paros menores prdidas resultado de interrupciones menores al flujo del proceso (como atoramiento de microswitch) requiriendo intervencin del operador. El tiempo de espera slo se puede resolver revisando el sistema / lnea completa Capacidad reducida prdidas que resultan de la diferencia entre el ciclo de tiempo ideal del equipo y su tiempo de ciclo real. El tiempo de ciclo ideal se determina por: a) velocidad original; b) condiciones ptimas y c) tiempo mximo de ciclo logrado con maquinaria similar 182 FMEA de maquinaria

Prdidas en el arranque prdidas que ocurren durante los primeros pasos del proceso productivo despus de paros largos (fines de semana, das de azueto, o entre turnos), resultando en rendimiento reducido o incremento de desperdicio y rechazos Partes defectivas prdidas que resultan de la generacin de defectos que producen retrabajo, reaparaciones, y/o partes no tiles Herramentales prdidas que resultan de fallas en el herramental, rotura, deterioracin o desgaste (vg. Herramientas de corte, tips de soldadura, etc.) 183 FMEA de maquinaria Criterios de Severidad 184 FMEA de maquinaria Causas potenciales, se asume que la maquinaria se fabric, instal, us, y se dispuso de acuerdo a sus especificaciones, preguntarse para identificar causas potenciales lo siguiente: Cules son las circunstancias que pueden orientar al componente, subsistema y sistema a no cumplir

sus requerimientos funcionales / de desempeo? A qu grado pueden los componentes, subsistemas y sistemas que interactan ser compatibles? Qu especificaciones garantizan compatibilidad? 185 FMEA de maquinaria Criterios de Ocurrencia 186 FMEA de maquinaria Criterios de Deteccin 187 Herramientas de la Fase de Anlisis Identificacin de causas potenciales Cartas Multivari y Anlisis de Regresin Intervalos de confianza y Pruebas de Hiptesis 188 7C2. Identificacin de causas potenciales

Tormenta de ideas Diagrama de Ishikawa Diagrama de Relaciones Diagrama de rbol Verificacin de causas raz 189 Tormenta de ideas Tcnica para generar ideas creativas cuando la mejor solucin no es obvia. Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado El problema a analizar debe estar siempre visible Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran nmero de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlas Motivar a que todos participen con la misma oportunidad 190

Tormenta de ideas Permite obtener ideas de los participantes 191 Diagrama de Ishikawa Anotar el problema en el cuadro de la derecha Anotar en rotafolio las ideas sobre las posibles causas asignndolas a las ramas correspondientes a: Medio ambiente Mediciones Materia Prima Maquinaria Personal y Mtodos o Las diferentes etapas del proceso de manufactura o servicio 192 Diagrama de Ishikawa Medio ambiente Clima

hmedo Distancia de la agencia al changarro Clientes con ventas bajas Malos itinerarios Mtodos Frecuencia de visitas Posicin de exhibidores Falta de supervi Falta de cin motivacin Elaboracin de pedidos Seguimiento semanal Conocimiento de los mnimos por ruta

Descompostura del camin repartidor Maquinara Personal Medicin Materiales Rotacin de personal Ausentismo Qu produce bajas ventas Calidad del de Tortillinas producto Ta Rosa? Tipo de exhibidor Diagrama de relaciones Perdida de mercado debido a la competencia No hay flujo

efectivo de mat. Por falta de programacin de acuerdo a pedidos Constantes cancelaciones de pedidos de marketing Falta de prog. De la op. En base a los pedidos Influencia de la situacin econ del pas Falta de No hay control coordinacin al fincar de inv..... En proc. pedidos entre marketing y la op. Programacin deficiente Capacidad instalada desconocida Las un. Reciben ordenes de dos

deptos diferentes Altos inventarios Falta de control de inventarios en compras Compras aprovecha ofertas Mala prog. De ordenes de compra No hay coordinacin entre marketing operaciones Compra de material para el desarrollo de nuevos productos por parte inv..... Y desarrollo No hay coordinacin entre la operacin y las unidades del negocio Falta de coordinacin entre el enlace de compras Duplicidad Demasiados deptos de cada unidad con compras

de funciones de inv..... Y desarrollo corporativo Falta de com..... Entre No hay com..... Entre las dif. reas de las UN y la oper. la empresa Marketing no tiene en cuenta cap de p. No hay com..... Entre compras con la op. general Influencia directa de marketing sobre compras Falta de comunicacin entre las unidades del negocio Que nos puede provocar Variacin de Velocidad Durante el ciclo de cambio en la seccin del Embobinadores? 13/0 2/1 Bandas de transmisin

Dancer 2/4 0/4 1/2 5/1 Taco generador del motor Poleas guas Presin del dancer Mal guiado 1/4 Sensor de velocidad de lnea 1/4 Sensor circunferencial 1/1 Empaques de arrastre Causas a validar 0/3 Presin de aire de trabajo

5/2 Drive principal 4/1 Voltaje del motor 1/5 Ejes principales 1/5 Poleas de transmisin Entradas Salidas Causa Efecto Diagrama de rbol o sistemtico Meta Medio Meta Medio Meta Primer nivel Segundo nivel

Medio Tercer nivel Medios Cuarto nivel Medios Medios Medios o planes Meta u objetivo Medios o planes 196 Diagrama de Arbol- Aplicacin Sistema SMED Cmo? Preparacin para el SMED Objetivo? Implantar el Sistema SMED Producto DJ 2702 Qu?

Elaboramos un Diagrama de Arbol para poder analizar nuestro problema siguiendo el sistema SMED. Fase 1: Separacin de la preparacin interna de la externa Fase 2: Conversin de preparacin interna en externa Fase 3: Refinamiento de todos los aspectos de la preparacin. Cundo? Filmar la preparacin 5- 12 - Mar-04 Analizar el video 10 y 17 Mar-04 Describir las tareas

17- Mar-04 Separar las tareas 17- Mar-04 Elaborar lista de chequeo 2- Mar-04 Realizar chequeo de funciones 24- Mar-04 Analizar el transporte de herramientas y materiales 24- Mar-04 Analizar las funciones y propsito de c/operacin 12 - Abr- 04 Convertir tareas de preparacin interna a externas 15 Abr - 04 Realizacin de operaciones en paralelo.

5 May -04 Uso de sujeciones funcionales. 19 May -04 Eliminacin de ajustes 12- May -04 19 Verificacin de posibles causas Para cada causa probable , el equipo deber por medio del diagrama 5Ws 1H: Llevar a cabo una tormenta de ideas para verificar la causa. Seleccionar la manera que: represente la causa de forma efectiva, y sea fcil y rpida de aplicar.

198 Calendario de las actividades qu? por qu? cmo? cund o? dnd e? quin ? 1 Tacogenerad or de motor embobinador 1.1 Por variacin de voltaje durante el ciclo de cambio 1.1.1 Tomar dimensiones de ensamble entre coples. 1.1.2 Verificar estado actual y especificaciones de escobillas. 1.1.3 tomar valores de voltaje de salida

durante el ciclo de cambio. Abril 04 1804 Embob . J. R. 2 Sensor circular y de velocidad de linea. 2.1 Por que nos genera una varin en la seal de referencia hacia el control de velocidad del motor embobinador 2.1.1 Tomar dimensiones de la distancia entre poleas y sensores. 2.1.2 Tomar valores de voltaje de salida de los sensores. 2.1.3 Verificar estado de rodamientos de poleas. Abril

04 1804 Embob . U. P. 3 Ejes principales de transmisin. 3.1 Por vibracin excesiva durante el ciclo de cambio 3.1.1 Tomar lecturas de vibracin en alojamientos de rodamientos 3.1.2 Comparar valores de vibraciones con lecturas anteriores. 3.1.3 Analizar valor lecturas de vibracin tomadas. Abril04 1804 Embob . F. F. 4 Poleas de

transmisin de ejes embobinador es. 4.1 Puede generar vibracin excesiva durante el ciclo de cambio. 4.1.1 Verificar alineacin, entre poleas de ejes principales y polea de transmisin del motor. 4.1.2 Tomar dimensiones de poleas(dientes de transmisin). 4.1.3 Tomar dimensiones de bandas (dientes de transmisin) Abril04 1804 Embob . J. R. U. P. 199 7A. Anlisis exploratorio de datos

1. Estudios Multivari 2. Modelando relaciones entre variables 200 7A1. Anlisis exploratorio de datos - Anlisis Multivari 201 7A1. Anlisis exploratorio de datos - Estudios Multivari La carta multivari permite analizar la variacin dentro de la pieza, de pieza a pieza o de tiempo en tiempo Permite investigar la estabilidad de un proceso consiste de lneas verticales u otro esquema en funcin del tiempo. La longitud de la lnea o del esquema representa el rango de valores encontrados en cada conjunto de muestras 202 7A1. Anlisis exploratorio de

datos - Estudios Multivari La variacin dentro de las muestras (cinco puntos en cada lnea). La variacin de muestra a muestra como posicin vertical de las lneas. E S P E S O R Nmero de subgrupo 203 7A1. Anlisis exploratorio de datos - Estudios Multivari Ejemplo de parte metlica Centro ms grueso 204 7A1. Anlisis exploratorio de datos - Estudios Multivari

Procedimiento de muestreo: Seleccionar el proceso y la caracterstica a investigar Seleccionar tamao de muestra y frecuencia de muestreo Registrar en una hoja la hora y valores para conjunto de partes 205 7A1. Estudios Multivari Procedimiento de muestreo: Realizar la carta Multivari Unir los valores observados con una lnea Analizar la carta para variacin dentro de la parte, de parte a parte y sobre el tiempo

Puede ser necesario realizar estudios adicionales alrededor del rea de mxima variacin aparente Despus de la accin de mejora comprobar con otro estudio Multivari 206 7A1. Cartas Multivari Su propsito fundamental es reducir el gran nmero de causas posibles de variacin, a un conjunto pequeo de causas que realmente influyen en la variabilidad. Sirven para identificar el patrn principal de variacin de entre tres patrones principales: Temporal: Variacin de hora a hora; turno a turno; da a da; semana a semana; etc. Cclico: Variacin entre unidades de un mismo proceso; variacin entre grupos de unidades; variacin de lote a lote. 207 7A1. Cartas Multivari

Posicional: Variaciones dentro de una misma unidad (ejemplo: porosidad en un molde de metal) o a travs de una sola unidad con mltiples partes (circuito impreso). Variaciones por la localizacin dentro de un proceso que produce mltiples unidades al mismo tiempo. Por ejemplo las diferentes cavidades de un molde Variaciones de mquina a mquina; operador a operador; planta a planta 208 7A1. Cartas Multivari Ejemplo: Se toman 3 a 5 unidades consecutivas, repitiendo el proceso tres o ms veces a cierto intervalo de tiempo, hasta que al menos el 80% de la variacin en el proceso se ha capturado. A 1 2 3 4 5 27 28 29 30 31

55 56 57 58 59 VARIACIN POSICIONAL DENTRO DE LA UNIDAD 209 7A1. Cartas Multivari Ejemplo: (cont...) B 1 2 3 4 5 27 28 29 30 31 55 56 57 58 59 VARIACIN CCLICA DE UNIDAD A UNIDAD 210 7A1. Cartas Multivari Ejemplo: (cont...) C 1 2 3 4 5

27 28 29 30 31 55 56 57 58 59 VARIACIN TEMPORAL DE TIEMPO A TIEMPO 211 7A1. Cartas Multivari Ejemplo: Un proceso produce flecha cilndricas, con un dimetro especificado de 0.0250 0.001. Sin embargo un estudio de capacidad muestra un Cp = 0.8 y una dispersin natural de 0.0025 (6 ) contra la permitida de 0.0002. Se tiene pensado comprar un torno nuevo de US$70,000 para tolerancia de 0.0008, i.e. Cpk = 1.25. Se sugiri un estudio Multi Vari previo. Se tomaron cuatro lecturas en cada flecha, dos a cada lado. Estas muestran una disminucin gradual desde el lado izquierdo al lado derecho de las flechas, adems de excentricidad en cada lado de la flecha. La variacin cclica, de una flecha a la siguiente, se muestra mediante las lneas que concentran las cuatro lecturas de cada flecha.

Tambin se muestra la variacin temporal. 212 Cartas Multivari .0.2510 8 AM 9 AM 10 AM 11 AM 12 AM 0.2500 0.2490 Izquierda Mximo Derecha Mnimo 213 7A1. Cartas Multivari Un anlisis rpido revela que la mayor variacin es temporal con un cambio mayor entre las 10 AM y las 11 AM.

A las 10 AM se para el equipo para el almuerzo y se arranca a las 11 AM, con lecturas similares a las de las 8 AM. Conforme pasa el tiempo las lecturas tienden a decrecer ms y ms, hasta que se invierten a las 10 A.M. en forma drstica. Se investig y se encontr que la temperatura tena influencia en la variacin. La variacin en temperatura era causada por que la cantidad de refrigerante no era la adecuada, lo cual se notaba ms cuando se paraba el equipo y se volva a arrancar. Se adicion, reduciendo la variacin en 50% aproximadamente.. 214 7A1. Cartas Multivari Tambin se encontr que el acabado cnico era causado por que la herramienta de corte estaba mal alineada. Se ajust, contribuyendo a otra reduccin del 10% de la variabilidad. La excentricidad de las flechas se corrigi al cambiar un rodamiento excntrico por desgaste en el torno. Se instal un nuevo rodamiento eliminndose otro 30% de la variabilidad. La tabla siguiente muestra un resumen de los resultados. 215

7A1. Cartas Multivari Tipo de % var. Causas de Accin % de variacin Variacin Total Variacin Correctiva Reducida Temporal 50 Bajo nivel de Adicionar Casi 50 Refrigerante

refrigerante Ajuste no Ajuste de la no paralelo herramienta de Tiempo a tiempo Dentro de 10 la flecha Casi 10 corte Dentro de 30 la flecha Flecha a flecha 5 Rodamiento

Nuevo gastado rodamiento -??? - Casi 30 - 216 7A1. Cartas Multivari Resultados: La variacin total en la siguiente corrida de produccin se redujo de 0.0025 a 0.0004 El nuevo Cp fue de 0.002 / 0.0004 = 5.0 Como beneficios se redujo a cero el desperdicio y no hubo necesidad de adquirir una nueva mquina.

Se observa que antes de cambiar equipo o mquinas, es conveniente realizar un estudio de variabilidad para identificar las fuentes de variacin y tratar de eliminarlas. 217 7A1. Cartas Multivari Ejemplo: Bsqueda de fuentes de variacin con el diagrama sistemtico. Dimetro de Flecha (0.150" +/- .002) Variacin de proceso Pieza a pieza Lote a lote Programa Dentro de la pieza Mquina Variacin de sist. medicin Mquina a mquina Accesorios

Turno a turno Tiempo a tiempo Operador a operador 218 7A1. Cartas Multivari Ejemplo (cont..): Al realizar la prueba de homogeneidad de varianza F, se encontr que haba una diferencia significante entre los operadores. Se Rechaza Ho: Oper1 = Oper2 = Oper3 Para probar si existe diferencia significativa entre medias de operadores se hacen las siguientes comparaciones Ho: Oper1 = Oper2 Ho: Oper2 = Oper3 Ho: Oper1 = Oper3 Ha: Oper1 Oper2 Oper3 219 Corrida en Minitab Se introducen los datos en varias columnas C1

a C3 incluyendo la respuesta (strenght) y los factores (time y Metal) SinterTime MetalType Strength 0.5 15 23 0.5 15 20 0.5 15 21 0.5 18 22 0.5

18 19 0.5 18 20 0.5 21 19 0.5 21 18 220 Corrida en Minitab Utilizar el achivo de ejemplo Sinter.mtw Opcin: Stat > Quality Tools > Multivari charts

Indicar la columna de respuesta y las columnas de los factores En opciones se puede poner un ttulo y conectar las lneas 221 Resultados Multi-Vari Chart for Strength by SinterTime - MetalType SinterTime 0.5 23.5 1.0 2.0 22.5 Strength 21.5 20.5 19.5 18.5

17.5 15 18 21 MetalType 222 7A2a. Regresin lineal simple 223 Correlacin Definiciones Establece si existe una relacin entre las variables y responde a la pregunta, Qu tan evidente es esta relacin?" Regresin Describe con ms detalle la relacin entre las variables. Construye modelos de prediccin a partir de informacin experimental u otra fuente disponible. Regresin lineal simple Regresin lineal mltiple Regresin no lineal cuadrtica o cbica 224 Correlacin

Accidentes laborales Propsito: Propsito: Estudiar Estudiarla laposible posiblerelacin relacin entre entredos dosvariables. variables.

Correlacin positiva, posible Numero de rdenes urgentes

El 1er. paso es realizar una grfica de la informacin. 225 Correlacin de la informacin (R ) de las X y las Y Correlacin Negativa Evidente 25 20 20 15 15 10 Y Y Correlacin Positiva Evidente 25 5 0 5 10

15 20 X 5 Sin Correlacin 0 25 10 0 0 5 10 25 R=1 15 20 X 25

R=-1 20 15 25 Y Correlacin Positiva Correlacin Negativa 5 0 0 20 5 10 15 X 15 10 20

25 25 R= 0 20 15 Y Y 10 5 10 5 0 0 5 10 15 X 20

25 R=>1 0 0 5 10 15 X 20 25 R=>-1 Correlaciones (Pearson) Tabla de Correlacin mnima n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 95% de confianza 1.00 0.95 0.88 0.81 0.75 0.71 0.67 0.63 0.60 0.58 0.53 0.53 99% de confianza 1.00 0.99 0.96 0.92 0.87 0.83 0.80 0.76 0.73 0.71 0.68 0.66

n 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 95% de confianza 0.51 0.50 0.48 0.47 0.46 0.44 0.42 0.40 0.39 0.37 0.36 99% de confianza 0.64 0.61 0.61 0.59

0.58 0.56 0.54 0.52 0.50 0.48 0.46 Para un 95% de confianza, con una muestra de 10, el coeficiente (r) debe ser al menos .63 7A2. Correlacin La correlacin puede usarse para informacin de atributos, variables normales y variables no normales. La correlacin puede usarse con un predictor o ms para una respuesta dada. La correlacin es una prueba fcil y rpida para eliminar factores que no influyen en la prediccin, para una respuesta dada. 228 7A2. Anlisis de Regresin El Elanlisis anlisisde deregresin regresin es esun unmtodo mtodo estandarizado estandarizadopara paralocalizar

localizarla lacorrelacin correlacinentre entredos dos grupos grupos de dedatos, datos, y, y, quiz quizms ms importante, importante, crear crear un un modelo modelode deprediccin. prediccin. Puede Puedeser ser usado usadopara para analizar analizar las lasrelaciones relacionesentre: entre: Una Unasola solaX Xpredictora predictorayyuna

unasola sola Y Y Mltiples Mltiplespredictores predictoresX Xyy una unasola solaY Y Varios Variospredictores predictoresX Xentre entres s 229 Supuestos de la regresin lineal Los principales supuestos que se hacen en el anlisis de regresin lineal son los siguientes: La relacin entre las variables Y y X es lineal, o al menos bien aproximada por una lnea recta. y 0 1 X El trmino de error tiene media cero.

El trmino de error tiene varianza constante 2. Los errores no estn correlacionados. Los errores estn normalmente distribuidos. 230 Modelo de regresin lineal Se aume que para cualquier valor de X el valor observado de Y varia en forma aleatoria y tiene una distribucin de probabilidad normal El modelo general es: Y = Valor medio de Yi para Xi + error aleatorio y 0 1 X 231 Regresin Lineal Simple La lnea de regresin se calcula por el mtodo de mnimos cuadrados. Un residuo es la diferencia entre un punto de referencia en particular (xi, yi) y el modelo de prediccin ( y = a + bx ). El

modelo se define de tal manera que la suma de los cuadrados de los residuales es un mnimo. La suma residual de los cuadrados es llamada con frecuencia la suma de los cuadrados y = b0 + b1x de los errores (SSE) acerca de la lnea de regresin i y ei

xi SSE = ei2 =

yi - yi2 a y b son Estimados de 0 y 1 Grfica de la Lnea de Ajuste Recta de regresin Y=-.600.858+5738.89X R2 = .895 Retencin 600 Regresin 500 95% Intervalo de confianza 95% Intervalo de prediccin 400 0.18 0.19

0.20 Altura del muelle 233 Interpretacin de los Resultados La ecuacin de regresin (Y = -600.858 + 5738.89X) describe la relacin entre la variable predictora X y la respuesta de prediccin Y. RR22(coef. (coef.de dedeterminacin) determinacin)es eselelporcentaje porcentajede devariacin variacin explicado explicadopor porlalaecuacin ecuacinde deregresin regresinrespecto respectoaalalavariacin variacintotal total en enelelmodelo modelo El intervalo de confianza es una banda con un 95% de confianza de encontrar la Y media estimada para cada valor de X [Lneas rojas]

El intervalo de prediccin es el grado de certidumbre de la difusin de la Y estimada para puntos individuales X. En general, 95% de los puntos individuales (provenientes de la poblacin sobre la que se basa la lnea de regresin), se encontrarn dentro de la banda [Lneas azules] 234 Interpretacin de los Resultados Los valores p de la constante (interseccin en Y) y las variables de prediccin, se leen igual que en la prueba de hiptesis. Ho: El factor no es significativo en la prediccin de la respuesta. Ha: El factor es significativo en la prediccin de la respuesta. s es el error estndar de la prediccin = desviacin estndar del error con respecto a la lnea de regresin. R2 (ajustada) es el porcentaje de variacin explicado por la regresin, ajustado por el nmero de trminos en el modelo y por el nmero de puntos de informacin. El valor p para la regresin se usa para ver si el modelo completo de regresin es significativo. Ho: El modelo no es significativo en la prediccin de la respuesta. Ha: El modelo es significativo en la prediccin de la respuesta. Errores residuales Los errores se denominan frecuentemente residuales. Podemos observar en la grfica de regresin los errores indicados por segmentos verticales. 236 Errores residuales

^ Los residuosei Yi Y i , i 1,2,3..., n pueden ser graficados para: Checar normalidad. Checar el efecto del tiempo si su orden es conocido en los datos. Checar la constancia de la varianza y la posible necesidad de transformar los datos en Y. Checar la curvatura de ms alto orden que ajusta en las Xs. A veces es preferible trabajar con residuos estandarizados o ei estudentizados: ri , ei di ,....1 1,2,....., n MS E MSE 1

1 ( X i X )2 n S XX 237 Errores residuales Anlisis de los errores o residuales Qu tan normales son los residuales? Residuales individuales tendencias; o separados? Diagnstico del Modelo de Residuales Grfica Normal de Residuales Tabla de Residuales 10 R es idu a l R es idu a l

20 0 -10 -20 -2 1 2 3.0SL=43.26 X=0.000 -3.0SL=-43.26 0 5 10 Nmero de Observacin Histograma de Residuales Residuales vs. Ajustes 20 3

R es idu a l Ignrese para grupos pequeos de informacin (<30) 0 Marcador Normal Fre cu e n cia Histograma curva de campana? -1 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 2

1 10 0 -10 -20 0 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 450 500 Ajuste 550 Buscar Buscarlas lasinconsistencias inconsistencias mayores mayores Aleatorio alrededor de cero, sin tendencias?

238 Ejemplo Considere el problema de predecir las ventas mensuales en funcin del costo de publicidad. Calcular el coeficiente de correlacin, el de determinacin y la recta. MES Publicidad Ventas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.8 1.0 1.3 0.7 0.8 1.0 0.6 0.9

101 92 110 120 90 82 93 75 91 239 Clculo manual Calcular columnas para Suma X, Suma Y, Xi2, XiYi y Yi2 Xi Yi MES Publicidad Ventas Xi2 XiYi Yi2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.2

0.8 1.0 1.3 0.7 0.8 1.0 0.6 0.9 1.1 101 92 110 120 90 82 93 75 91 105 1.44 0.64 1.00 1.69 0.49 0.64 1.00 0.36 0.81 1.21 121.2

73.6 110.0 156 63.0 65.6 93.0 45.0 81.9 115.5 10201 8464 12100 14400 8100 6724 8649 5625 8281 11025 SUMA 9.4 959 9.28 924.8 93,569 240

Mtodo de mnimos cuadrados Donde: Yest = Valor predicho de para un valor particular de x. b0 = Estimador puntual de .(ordenada al origen) b1= Estimador puntual de (pendiente) Para el clculo de b0 y b1 se utilizamos las siguientes SS xy frmulas: 2 b 1 x 2 SS x SS x x n 2 SS y y SS xy xy y 2 b0 y b1 x n x y n

241 Anlisis de varianza en la regresin Tabla de Anlisis de Varianza Fuente Regresin df 1 . SS SSR b1 S XY MS = SS/df MS REG Fc MSreg/s2 Residual n-2 S2 SSE SSYY b1 S XY __________________________________________________________. Total corregido n-1 SYY La desviacin estndar S corresponde a la raz cuadrada del valor de MSE o cuadrado medio residual.

SS E SYY b1 S XY 2 S n 2 n 2 n SYY Y i n i 1 2 Yi n i 1 n 2

n X Y i n i 1 S XY X iYi i i 1 n i 1 Los residuos son: ^ ei Yi Y i ^ __ ^ __ Yi Y i Yi Y (Y i Y ) (Y

i __ ^ __ ^ Y ) 2 (Y i Y ) 2 (Yi Y i ) 2 242 t ( n 2,1 b1 1 ).S 2 __ ( X i X )2 Anlisis de varianza en la regresin Las conclusiones son como sigue: El estadstico F se calcula como F = MSE REG / S2 y se compara con la F de tablas con (1, n-2) grados de libertad y rea en 100(1-)%, para determinar si el parmetro 1 es significativo que es el caso de F calc. > Ftablas.

Intervalos de confianza para Beta 0 y Beta 1 __ 2 1 X se(b0 ) MSE n S XX X i2 __ n ( X i X ) 2 1/ 2 MSE S se(b1 ) S XX S XX S X i2

1 b0 t (n 2,1 ) __ 2 2 n ( X i X ) t ( n 2,1 b1 (X S 1 ). S 2 __ i 1/ 2 X )2 243 t ( n 2,1 b1 1

).S 2 __ ( X i X )2 Anlisis de varianza en la regresin El intervalo de confianza para la desviacin estndar es: ( n 2) MSE ( n 2) MSE 2 2 / 2,n 2 12 / 2,n 2 Intervalos de confianza para la Y estimada promedio ^ Y0 t a / 2,n 2 __ 2 1 (X0 X ) MSE S XX n

Intervalo de prediccin para un valor particular de Y estimado __ Y0 t / 2 ,n 2 1 ( X 0 X )2 MSE 1 Y0 Y0 t / 2,n 2 n S XX __ 1 ( X 0 X )2 MSE 1 n S XX

244 t ( n 2,1 b1 1 ).S 2 __ ( X i X )2 Anlisis de varianza en la regresin Prueba de Hiptesis para Beta 1: Ho: 1 = 0 contra H1:1 0 t0 b1 MSE S XX Si t 0 t / 2,n 2 el coeficiente Beta 1 es significativo 245 t ( n 2,1 b1 1 ).S 2

__ ( X i X )2 Anlisis de varianza en la regresin Coeficiente de correlacin r: S XY r S XX SYY Coeficiente de determinacin: r2 R2 mide la proporcin de la variacin total respecto a la media que es explicada por la regresin. Se expresa en porcentaje. ^ __ 2 ( Y Y ) ( SS . de . la . regresin

. por . b ) SSE 0 R2 1 __ ( SSTotal .corregido. para.la.media ) SYY (Y Y ) 2 i 246 t ( n 2,1 b1 1 ).S 2 __ ( X i X )2

Anlisis de varianza en la regresin Prueba de hiptesis para el Coeficiente de correlacin r: H0: = 0 contra H1: 0 t0 Si r n 2 1 r2 t 0 t / 2,n 2 se rechaza la hiptesis Ho, indicando que existe una correlacin significativa 247 Riesgos de la regresin Los modelos de regresin son vlidos como ecuaciones de interpolacin sobre el rango de las variables utilizadas en el modelo. No pueden ser vlidas para extrapolacin fuera de este rango. Mientras que todos los puntos tienen igual peso en la determinacin de la recta, su pendiente est ms influenciada por los valores extremos de X.

1. Y *A * * * * * * * Sin A y B * * *B X 248 Riesgos de la regresin Los outliers u observaciones aberrantes pueden distorsionar seriamente el ajuste de mnimos cuadrados. Y *A * * ** * ** * **

* * * * * * * ** * * X Si se encuentra que dos variables estn relacionadas fuertemente, no implica que la relacin sea casual, se debe investigar la relacin causa efecto entre ellas. Por ejemplo el nmero de enfermos mentales vs. nmero de licencias recibidas. 249 Clculo manual(cont..) Clculo de la recta de regresin lineal: Sxx = 9.28 - (9.4)^2/10 = 0.444 Sxy = 924.8 - (9.4)(959) / 10 = 23.34 Ymedia = 959 / 10 = 95.9 Xmedia = 9.4 / 10 = 0.94 b1 = Sxy / Sxx = 23.34 / 0.444 = 52.57

b0 = Ymedia - b1*Xmedia = 95.9 - (52.5676)(0.94) = 46.49 Yest. = 46.49 + 52.57* X 250 Ejemplo (cont..) Clculo de S2 estimador de S2 = SSE / (n - 2) = Syy - (Sxy)^2/Sxx Syy = 93,569 - (959)^2 / 10 = 1600.9 SSE = Syy - b1*Sxy = 1600.9 - (52.567)(23.34) = 373.97 S2 = SSE / (n - 2) = 373.97 / 8 = 46.75 S = 6.84 El intervalo de confianza donde caern el 95% de los puntos es el rango de 1.96S = 13.41 o sea a 13.41 de la lnea. 251 Ejemplo (cont..) Inferencias respecto a la pendiente de la lnea b1: Se usa el estadstico t = b1 / (S / Sxx) El trmino del denominador es el error estndar de la pendiente. Para probar la hiptesis nula Ho: 1 = 0 En este caso tc = 52.57 / (6.84 / 0.444) = 5.12 El valor crtico tcrit. para alfa/2 = 0.025 con (n-2) = 8 grados de libertad es 2.306. Como tc > tcrtico se rechaza la hiptesis de que b1 = 0 existiendo la regresin. 252 Ejemplo (cont..) Estableciendo un 95% de confianza para la pendiente de

la recta b1. Usando la frmula b1 t0.025 (S / Sxx) se tiene: 52.57 2.306 * 6.84 / 0.444 = 52.57 23.67. Por tanto una unidad de incremento en publicidad, har que el volumen de ventas se encuentre entre $28.9 a $76.2. 253 Ejemplo (cont..) Clculo del coeficiente de Correlacin: ________ r = Sxy / (SxxSyy) ____________ r = 23.34 / 0.444*1600.9 = 0.88 Como r es positivo, la pendiente de la recta apunta hacia arriba y a la derecha. El coeficiente de determinacin r^2 = 1 - SSE/Syy r^2 = ( Syy - SSE ) / Syy = 0.774 254 7A2. Anlisis de Regresin 1. Teclear los datos para Xi y Yi 2. Llamar a TOOLS o HERRAMIENTAS, DATA ANALYSIS o ANALISIS DE DATOS, CORRELATION o CORRELACIN 3. Dar INPUT RANGE (rango de datos), OUTPUT RANGE (para los resultados) y obtener los resultados Column 1 Column 2 Column 1 1 0.875442

Column 2 0.875442 1 El coeficiente de correlacin r = 0.875442 255 Clculo con Excel) 4. Llamar a TOOLS o HERRAMIENTAS, DATA ANALYSIS o ANALISIS DE DATOS, REGRESION o REGRESIN 3. Dar INPUT RANGE Y (rango de datos Yi), INPUT RANGE X (rango de datos Xi), CONFIDENCE INTERVAL 95%, OUTPUT RANGE (para los resultados), RESIDUAL PLOTS o GRAFICAS DE RESIDUALES y obtener una tabla de resultados como los que se muestran en las pginas siguientes. NOTAS: a) La grfica de probabilidad normal debe mostrar puntos fcilmente aproximables por una lnea recta, indicando normalidad. B) La grfica de residuos estandarizados se deben distribuir en 256 forma aleatoria alrededor de la lnea media igual a cero. Resultados de Excel SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.875442 Adjusted R Square0.737198 Observations 10 R Square

0.766398 Standard Error 6.83715 ANOVA df 1 8 9 SS MS F Significance F Regression 1226.927 1226.927 26.24633 0.000904 Residual 373.973 46.74662 Total 1600.9 Confidence 95% Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower Upper Intercept 46.48649 9.884566 4.702936 0.001536 23.69262 69.28035 X Variable1 52.56757 10.26086 5.123117 0.000904

28.90597 76.22916 La ecuacin de la recta es Yest = 46.48649 + 52.56757 X Como los valores p para los coeficientes son menores a 0.05, ambos son significativos Grfica normal de Excel Normal Probability Plot 140 120 Y 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 Sample Percentile

258 Grfica de Residuos vs. X de Excel X Variable 1 Residual Plot Residuals 20 10 0 -10 0 0.5 1 1.5 X Variable 1 259 Ejercicio Calcular la recta de prediccin con sus bandas de confianza, la correlacin y la determinacin para la respuesta de un Taxi, los datos se muestran a continuacin: Distancia Tiempo 0.8 200

2.2 1.0 0.6 1.0 1.4 2.2 0.6 400 160 120 360 280 560 320 260 Relaciones no Lineales Qu pasa si existe una relacin causal, no lineal? Cmo describira El siguiente es un conjunto de datos esta relacin? experimentales codificados, sobre resistencia a la compresin de una aleacin especial: Concentracin x 10.0 15.0 20.0 25.0

30.0 Resistencia a la Compresin y 25.2 27.3 28.7 29.8 31.1 27.8 31.2 32.6 29.7 31.7 30.1 32.3 29.4 30.8 32.8 (ref. Walpole & Myers, 1985) 261 Resultados del Anlisis de Regresin - Modelo Cuadrtico Y = 19.0333 + 1.00857X - 2.04E-02X**2 R2 = 0.614 Anlisis de Variancia FUENTE Regresin Error Total DF 2 12 14 SS MS F

p 38.9371 19.4686 9.54490 3.31E-03 24.4762 2.0397 63.4133 FUENTE DF Lineal 1 Cuadrtica 1 Seq SS F p 28.0333 10.3005 6.84E-03 10.9038 5.34584 3.93E-02 262 Regresin cuadrtica Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 X 5.0 6.0 3.4 2.7 10.0 9.7 9.6 3.1 8.2 6.2 2.9 6.4 4.6 5.8 7.4 3.6 7.9 8.8 7.0 5.5

9.1 10.2 4.1 4.0 2.5 Y 1.5820 1.8220 1.0570 0.5000 2.2360 2.3860 2.2940 0.5580 2.1660 1.8660 0.6530 1.9300 1.5620 1.7370 2.0880 1.1370 2.1790 2.1120 1.8000 1.5010 2.3030 2.3100 1.1940 1.1440 0.1230

Fit 1.3366 1.5778 0.9508 0.7820 2.5424 2.4700 2.4338 0.8664 2.0962 1.6260 0.8302 1.6622 1.2402 1.5295 1.9154 0.9990 2.0239 2.2530 1.8189 1.4451 2.3253 2.5906 1.1196 1.0834 0.7217 SE Fit 0.0519 0.0473 0.0703 0.0806 0.0875

0.0828 0.0804 0.0753 0.0609 0.0472 0.0776 0.0474 0.0555 0.0476 0.0530 0.0675 0.0574 0.0694 0.0500 0.0490 0.0737 0.0907 0.0611 0.0629 0.0845 Residual 0.2454 0.2442 0.1062 -0.2820 -0.3064 -0.0840 -0.1398 -0.3084 0.0698 0.2400 -0.1772

0.2678 0.3218 0.2075 0.1726 0.1380 0.1551 -0.1410 -0.0189 0.0559 -0.0223 -0.2806 0.0744 0.0606 -0.5987 St Resid 1.07 1.06 0.47 -1.27 -1.40 -0.38 -0.63 -1.38 0.31 1.04 -0.79 1.16 1.40 0.90 0.75 0.61 0.68

-0.62 -0.08 0.24 -0.10 -1.29 0.33 0.27 -2.72R 263 Regresin cuadrtica Analysis of Variance Source DF SS Regression 1 8.9296 Residual Error 23 1.2816 Total 24 10.2112 MS 8.9296 0.0557 F 160.26

P 0.000 264 Regresin cuadrtica Los residuos No son normales Se deben transformar Las variables 265 Otros Patrones No Lineales A veces es posible transformar una o ambas variables, para mostrar mejor la relacin entre ambas. La meta es identificar la relacin matemtica entre las variables, para que con la variable transformada se obtenga una lnea ms recta. Algunas transformaciones comunes incluyen: x = 1/x x = Raz cuadrada de (x) Funciones trigonomtricas: x = Seno de x x = log x Trasformacin de funciones Funciones linealizables

y su forma lineal correspondiente. Figura 3.13 Funcin Transformacin Forma lineal a,b Y 0 X 1 Y ' log Y , X ' log X Y ' log 0 1 X ' c,d Y 0 e 1 X Y ' log Y Y ' ln 0 1 X

e,f Y 0 1 log X X ' log X Y ' 0 1 X ' g,h Y 1 1 Y ' , X ' Y X Y ' 0 1 X ' X 0 X 1 Ejemplo: seaY 0 e 1 X se transforma como ln Y ln 0 1 X ln Y ' 0 ' 1 X ' 267

Transformacin de variables del ejemplo de regresin cuadrtica Transformando la variable X = 1/X se tiene, utilizando Minitab The regression equation is Y = 2.98 - 6.93 1/X Predictor Constant 1/X Coef 2.97886 -6.9345 S = 0.09417 Obs 1 2 3 4 5 6 1/X 0.200 0.167 0.294 0.370 0.100 0.103

SE Coef 0.04490 0.2064 R-Sq = 98.0% Y 1.5820 1.8220 1.0570 0.5000 2.2360 2.3860 T 66.34 -33.59 P 0.000 0.000 R-Sq(adj) = 97.9% Fit 1.5920 1.8231 0.9393 0.4105 2.2854 2.2640 SE Fit 0.0188

0.0199 0.0274 0.0404 0.0276 0.0271 Residual -0.0100 -0.0011 0.1177 0.0895 -0.0494 0.1220 St Resid -0.11 -0.01 1.31 1.05 -0.55 1.35 268 Transformacin de variables del ejemplo de regresin cuadrtica Transformando la variable X = 1/X se tiene, utilizando Minitab 269

Transformacin de variables del ejemplo de regresin cuadrtica Los residuos ahora ya se muestran normales 270 Transformacin para homoestacidad de la varianza Algunas transformaciones para estabilizar la varianza Relacin de 2 a E(Y) Transformacin 2 constante ..............................Y ' Y 2 E (Y ).................................Y ' Y Datos de Poisson 2 E (Y )1 E (Y )................Y ' sin 1 Y Proporciones binomiales 2 2 E (Y ) ..............................Y ' ln(Y ) 3 2 E (Y ) ...........................Y ' Y 1 / 2

271 Transformacin para homoestacidad de la varianza Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Ejemplo: Se hizo un estudio entre la demanda (Y) y la energa elctrica utilizada (X) durante un cierto periodo X tiempoY Fit SE Fit Residual St Resid de 679 0.790 1.649 0.351 -0.859 -0.61 292 1012 493 582 1156 997 2189 1097 2078 1818 1700 747 2030 1643 414 354 1276

745 435 540 874 1543 1029 710 0.440 0.560 0.790 2.700 3.640 4.730 9.500 5.340 6.850 5.840 5.210 3.250 4.430 3.160 0.500 0.170 1.880 0.770 1.390 0.560 1.560 5.280 0.640 4.000

0.308 2.802 1.004 1.312 3.301 2.750 6.880 3.097 6.495 5.595 5.186 1.884 6.329 4.988 0.730 0.523 3.717 1.877 0.803 1.167 2.324 4.642 2.861 1.756 0.490 0.293 0.412 0.381 0.297 0.294 0.651 0.293

0.600 0.488 0.441 0.333 0.579 0.420 0.441 0.465 0.313 0.333 0.433 0.395 0.307 0.384 0.293 0.343 0.132 -2.242 -0.214 1.388 0.339 1.980 2.620 2.243 0.355 0.245 0.024 1.366 -1.899 -1.828 -0.230 -0.353

-1.837 -1.107 0.587 -0.607 -0.764 0.638 -2.221 2.244 0.10 -1.57 -0.15 0.98 0.24 1.38 2.00R 1.57 0.27 0.18 0.02 0.96 -1.42 -1.31 -0.17 -0.25 -1.29 -0.78 0.42 -0.43 -0.53 0.45 -1.55 1.58

272 Transformacin para homoestacidad de la varianza Ejemplo: Se hizo un estudio entre la demanda (Y) y la energa elctrica utilizada (X) durante un cierto periodo de tiempo The regression equation is Y = - 0.704 + 0.00346 X Predictor Coef SE Coef T P Constant -0.7038 0.6170 -1.14 0.266 X 0.0034645 0.0005139 6.74 0.000 S = 1.462 R-Sq = 66.4% R-Sq(adj) = 64.9% Analysis of Variance Source

DF SS MS F Regression 1 97.094 97.094 45.45 Residual Error 23 49.136 2.136 Total 24 146.231 P 0.000 273 Transformacin para homoestacidad de la varianza Se observa que la varianza se incrementa conforme aumenta X 274 Transformacin para homoestacidad de la varianza

Se observa que la varianza se incrementa conforme aumenta X 275 Transformacin para homoestacidad de la varianza Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

23 24 25 Transformando a X por su raz cuadrada se tiene: X 679 292 1012 493 582 1156 997 2189 1097 2078 1818 1700 747 2030 1643 414 354 1276 745 435 540 874 1543 1029 710 SQR-Y

0.8888 0.6633 0.7483 0.8888 1.6432 1.9079 2.1749 3.0822 2.3108 2.6173 2.4166 2.2825 1.8028 2.1048 1.7776 0.7071 0.4123 1.3711 0.8775 1.1790 0.7483 1.2490 2.2978 0.8000 2.0000 Fit 1.1694 0.7717 1.5115 0.9783 1.0697 1.6595

1.4961 2.7208 1.5989 2.6068 2.3397 2.2184 1.2392 2.5575 2.1598 0.8971 0.8354 1.7828 1.2372 0.9187 1.0265 1.3697 2.0571 1.5290 1.2012 SE Fit 0.1092 0.1524 0.0912 0.1280 0.1184 0.0922 0.0914 0.2024 0.0911 0.1867 0.1518 0.1371

0.1035 0.1800 0.1304 0.1372 0.1445 0.0974 0.1037 0.1347 0.1228 0.0955 0.1195 0.0910 0.1065 Residual -0.2805 -0.1084 -0.7632 -0.0894 0.5735 0.2484 0.6788 0.3614 0.7120 0.0105 0.0770 0.0641 0.5635 -0.4527 -0.3822 -0.1900 -0.4231 -0.4116

-0.3597 0.2603 -0.2782 -0.1207 0.2407 -0.7290 0.7988 St Resid -0.64 -0.25 -1.71 -0.21 1.31 0.56 1.52 0.89 1.60 0.03 0.18 0.15 1.27 -1.09 -0.88 -0.44 -0.98 -0.93 -0.81 0.60 -0.64 -0.27 0.55 -1.64

1.81 276 Transformacin para homoestacidad de la varianza Transformando a X por su raz cuadrada se tiene: Regression Analysis: SQR-Y versus X The regression equation is SQR-Y = 0.472 + 0.00103 X Predictor Coef SE Coef T P Constant 0.4717 0.1918 2.46 0.022 X 0.0010275 0.0001598 6.43 0.000 S = 0.4544 R-Sq = 64.3% R-Sq(adj) = 62.7% 277

Transformacin para homoestacidad de la varianza Transformando a X por su raz cuadrada se tiene: 278 7A2b. Regresin lineal mltiple 279 Regresin mltiple Cuando se usa ms de una variable independiente para predecir los valores de una variable dependiente, el proceso se llama anlisis de regresin mltiple, incluye el uso de ecuaciones lineales. Yu 0 1 X u1 2 X u 2 ....... k X uk u Se asume que los errores u tienen las caractersticas siguientes: Tienen media cero y varianza comn 2. Son estadsticamente independientes. Estn distribuidos en forma normal. 280

Regresin mltiple Estimacin de los parmetros del modelo Se trata de minimizar los errores cuadrticos en: N R ( 0 , 1 ,..., k ) (Yu 0 1 X u1 2 X u 2 ..... uk ) 2 u 1 El modelo de regresin mltiple en forma matricial es: Y = X + = [1 : D] + Y es un vector N x 1. X es una matriz de orden N x (k + 1), donde la 1. columna es 1s. es un vector de orden (k + 1) x 1. es un vector de orden N x 1. D es la matriz de Xij con i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2, ......, k 281 Regresin mltiple Estimacin de los parmetros del modelo: b = (XX)-1 XY El vector de valores ajustados Y Xb como: se puede expresar Y Xb X ( X ' X ) 1 X ' Y Hy La varianza del modelo se estima como:

SSE (Y Y ) e e' e 2 n i 2 i i 1 SSE (Y Xb )' (Y Xb) Y ' Y b' X ' Y Y ' Xb b' X ' Xb Y ' Y 2b' X ' Y b' X ' Xb SSE Y ' Y b' X ' Y s 2 MSE SSE N p 282 Tamao de muestra Tomar 5 observaciones para cada una de las variables independientes, si esta razn es menor de5 a 1, se tiene el riesgo de sobreajustar el modelo

Un mejor nivel deseable es tomar 15 a 20 observaciones por cada variable independiente 283 Ejemplo de regresin mltiple Un embotellador est analizando las rutas de servicio de mquinas dispensadoras, est interesado en predecir la cantidad de tiempo requerida por el chofer para surtir las mquinas en el local (Y). La actividad de servicio incluye llenar la mquina con refrescos y un mantenimiento menor. Se tienen como variables el nmero de envases con que llena la mquina (X1) y la distancia que tiene que caminar (X2). 284 X2-Dist Obs 16.68 1 11.50

2 12.03 3 14.88 4 13.75 5 18.11 6 08.00 7 17.83 8 79.24 9 21.50 10 40.33 11 21.00 12 13.50 13 19.75 14 24.00 15 29.00 16 15.35 17 19.00 18

09.50 19 35.10 20 17.90 21 52.32 18.75 19.83 10.75 R X denotes denotes X1-CAS 7.0 Y-TENT Fit SE Fit Residual St Resid

16.680 21.708 1.040 -5.028 -1.63 11.500 10.354 0.867 1.146 0.36 12.030 12.080 1.024 -0.050 -0.02 14.880 9.956

0.952 4.924 1.58 13.750 14.194 0.893 -0.444 -0.14 18.110 18.400 0.675 -0.290 -0.09 2.0 8.000 7.155

0.932 0.845 0.27 7.0 17.830 16.673 0.823 1.157 0.37 30.0 79.240 71.820 2.301 7.420 3.21RX 5.0 21.500

19.124 1.444 2.376 0.81 16.0 40.330 38.093 0.957 2.237 0.72 10.0 21.000 21.593 1.099 -0.593 -0.19

4.0 13.500 12.473 0.806 1.027 0.33 6.0 19.750 18.682 0.912 1.068 0.34 9.0 24.000 23.329 0.661 0.671

0.21 10.0 29.000 29.663 1.328 -0.663 -0.22 6.0 15.350 14.914 0.795 0.436 0.14 7.0 19.000 15.551

1.011 3.449 1.11 3.0 9.500 7.707 1.012 1.793 0.58 17.0 35.100 40.888 1.039 -5.788 -1.87 10.0 17.900

20.514 1.325 -2.614 -0.88 26.0 9.0 8.0 4.0 52.320 18.750 19.830 10.750 56.007 23.358 24.403 10.963 2.040 0.662 1.132 0.841 -3.687 -4.608 -4.573 -0.213

-1.45 -1.44 -1.50 -0.07 3.0 3.0 4.0 6.0 7.0 an an Ejemplo de regresin mltiple observation observation Durbin-Watson statistic with a large standardized residual whose X value gives it large influence. = 1.17 285

22 23 24 25 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial Matrix M5 = X' [ 1 1 1 1 7 3 3 4 560 220 340 255 1 6 462 1 9 448 1 10 776

1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6 7 2 7 30 5 16

10 80 150 330 110 210 1460 605 688 215 1 6 200 1 7 132 1 3 36

1 17 770 1 10 140 1 26 810 1 9 450 1 8 635 1 4 150 ] Matrix M6 = X'Y [ 25 219 10232 219 3055

133899 10232 133899 6725688 ] Matrix M7 = X'Y [ 560 7375 337072 ] 286 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial Matrix M8 = INV(X'X) 0.113215 -0.004449 -0.000084 -0.004449 0.002744 -0.000048 -0.000084 -0.000048 0.000001 Matrix M9 = INV(X'X) X'Y 2.34123 1.61591 0.01438 The regression equation is Y-TENT = 2.34 + 1.62 X1-CAS + 0.0144 X2-DIST Predictor Constant X1-CAS X2-DIST S = 3.259

Coef 2.341 1.6159 0.014385 SE Coef 1.097 0.1707 0.003613 R-Sq = 96.0% T 2.13 9.46 3.98 P 0.044 0.000 0.001 R-Sq(adj) = 95.6% 287 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial Clculo de la estimacin de la varianza: Data Display Matrix M10 = Y' [ 16.68 11.50 12.03 14.88 13.75 18.11

8.00 17.83 79.24 21.50 40.33 21.00 13.50 19.75 24.00 29.00 15.35 19.00 9.50 35.10 17.90 52.32 18.75 19.83 10.75 ] Matrix M11 = Y'Y = 18310.6 Matrix M12 = b' = [ 2.34123 1.61591 0.01438 ] Matrix M13 = b'X'Y = 18076.9 Matrix M14 = SSe = Y'Y - b'X'Y = 233.732 S2 SS E 233.732 10.624 N p 25 3 288 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial Intervalo de confianza para Beta 1 b1 t.025, 22 se(b1 ) 1 b1 t.025, 22 se(b1 )

1.61591 ( 2.074) (10.6239)(0.00274378) 1 1.6191 ( 2.074)(0.17073) Por tanto el intervalo de confianza para el 95% es: 1.26181 1 1.97001 289 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial El embotellador desea construir un intervalo de confianza sobre el tiempo medio de entrega para un local requiriendo: X1 = 8 envases y cuya distancia es X2 = 275 pies. 2.34123 1 Y0 X ' 0 b 1,8,275 1.61591 19.22minutos X 0 8 0.01438 275 La varianza de la Y0 estimada es1(tomando M8=inv(XX) : Var (Y0 ) S 2 X ' 0 ( X ' X ) 1 X 0 10.62391,8,275 M 8 8 10.6239(0.05346) 0.56794 275

290 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial El intervalo de confianza sobre el tiempo medio de entrega para un local requiriendo es para 95% de nivel de confianza: 19.22 2.074 0.56794 Y0 19.22 2.074 0.56794 Que se reduce a: 17.66 Y0 20.78 291 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial El anlisis de varianza es: Analysis of Variance SST = 18,310.629 - (559.6) 2 25 = 5784.5426 SSR = 18,076.930 -

(559.6) 2 25 = 5,550.8166 SSE = SST SSR = 233.7260 MSR 2775.4083 F0 261.24 MSE 10.6239 F0.05, 2 , 22 3.44 Con el paquete Minitab se obtuvo lo siguiente: Source Regression Residual Error Total DF 2 22 24 SS 5550.8 233.7 5784.5 MS

2775.4 10.6 F 261.24 Como la F calculada es mayor que la F de tablas, se concluye que existe el modelo con alguno de sus coeficientes diferente de cero P 0.000 292 Ejemplo de regresin mltiple Solucin matricial El comportamiento de los residuos es como sigue: 293 Multicolinealidad La multicolinealidad implica una dependencia cercana entre regresores (columnas de la matriz X ), de tal forma que si hay una dependencia lineal exacta har que la matriz XX sea singular.

La presencia de dependencias cercanamente lineales impactan dramticamente en la habilidad para estimar los coeficientes de regresin. La varianza de los coeficientes de la regresin son inflados debido a la multicolinealidad. Es evidente por los valores diferentes de cero que no estn en la diagonal principal de XX. Que son correlaciones simples entre los regresores. 294 Multicolinealidad Una prueba fcil de probar si hay multicolinealidad entre dos variables es que su coeficiente de correlacin sea mayor a 0.7 Los elementos de la diagonal principal de la matriz XX se denominan Factores de inflacin de varianza (VIFs) y se usan como un diagnstico importante de multicolinealidad. Para el componente j simo se tiene: 1 VIF j 1 R 2j

Si es mayor a 10 implica que se tienen serios problemas de multicolinealidad. 295 Anlisis de los residuos Los residuos graficados vs la Y estimada, pueden mostrar diferentes patrones indicando adecuacin o no adecuacin del modelo: Grfica de residuos aleatorios cuya suma es cero (null plot) indica modelo adecuado Grfica de residuos mostrando una no linealidad curvilnea indica necesidad de transformar las variables Si los residuos se van abriendo indica que la varianza muestra heteroestacidad y se requiere transformar las variables. Se puede probar con la prueba de Levene de homogeneidad de varianzas 296 Escalamiento de residuos

En algunos casos es difcil hacer comparaciones directas entre los coeficientes de la regresin debido a que la magnitud de bj refleja las unidades de medicin del regresor Xj. Por ejemplo: Y 5 X 1 1000 X 2 Para facilitarla visualizacin de residuos ante grandes diferencias en los coeficientes, se sugiere estandarizar o estudentizar los residuos 297 Escalamiento de residuos Residuos estandarizados Se obtienen dividiendo cada residuo entre la desviacin estndar de los residuos ei di , MSE

Despus de la estandarizacin, los residuos tienen una media de 0 y desviacin estndar de 1 Con ms de 50 datos siguen a la distribucin t, de manera que si exceden a 1.96 (lmite para alfa 0.05) indica significancia estadstica y son outliers 298 Escalamiento de residuos Residuos estudentizados Son similares a los residuos donde se elimina una observacin y se predice su valor, pero adems se elimina la i-sima observacin en el clculo de la desviacin estndar usada para estandarizar la sima observacin Puede identificar observaciones que tienen una gran influencia pero que no son detectadas por los residuos estandarizados H = X (XX)-1X es la matriz sombrero o hat matriz. ei ri , MSE (1 hii )

299 Escalamiento de residuos El estadstico PRESS (Prediction Error Sum of Squares) es una medida similar a la R2 en la regresin. Difiere en que se estiman n-1 modelos de regresin. En cada modelo se omite una observacin en la estimacin del modelo de regresin y entonces se predice el valor de la observacin omitida con el modelo estimado. El residuo isimo ser: e( i ) Yi Y( i ) El residuo PRESS es la suma al cuadrado de los residuos individuales e indica una medida de la capacidad de prediccin N 2 PRESS e(2i ) Yi Y( i ) i 1 RPr2 ediccin 1 PRESS SYY

300 Grficas parciales de regresin Para mostrar el impacto de casos individuales es ms efectiva la grfica de regresin parcial. Un caso outlier impacta en la pendiente de la ecuacin de regresin (y su coeficiente). Una comparacin visual de la grfica de regresin parcial con y sin la observacin muestra la influencia de la observacin El coeficiente de correlacin parcial es la correlacin de la variable independiente Xi la variable dependiente Y cuando se han eliminado de ambos Xi y Y La correlacin semiparcial refleja la correlacin entre las variables independiente y dependiente removiendo el efecto Xi 301 Matriz sombrero

Los puntos de influencia son observaciones substancialmente diferentes de las observaciones remanentes en una o ms variables independientes Contiene valores (sombrero en su diagonal) para cada observacin que representa influencia. Representa los efectos combinados de todos las variables independientes para cada caso 302 Matriz sombrero Los valores en la diagonal de la matriz sombrero miden dos aspectos: Para cada observacin miden la distancia de la observacin al centro de la media de todas las observaciones de las variables independientes Valores altos en la diagonal indica que la observacin tiene mucho peso para la prediccin del valor de la variable dependiente, minimizando su residuo El rango de valores es de 0 a 1, con media p/n, p es el nmero de predictores y n es el tamao de muestra. Valores lmite se encuentran en 2p/n y 3p/n

303 Distancia de Mahalanobis D2 es una medida comparable a los valores sombrero (hat values) que considera slo la distancia de una observacin del valor medio de las variables independientes. Es otra forma de identificar outliers La significancia estadstica de la distancia de Malahanobis se puede hacer a partir de tablas del texto: Barnett, V., Outliers in Statistical Data, 2nd. Edition, Nueva York, Wiley, 2984 304 Influencia en coeficientes individuales El impacto de eliminar una observacin simple en cada uno de los coeficientes de la regresin mltiple se muestra con la DFBETA y su versin estandarizada SDFBETA.

Se sugiere aplicar como lmites 1.0 o 2 para tamaos de muestra pequeos y n para muestras medias y grandes La distancia de Cook (Di) captura el impacto de una observacin: La dimensin del cambio en los valores pronosticados cuando se omite la observacin y la distancia de las otras observaciones, el lmite es 1 o 4/(n-k-1) 305 Influencia en coeficientes individuales La medida COVRATIO estima el efecto de la observacin en la eficiencia del proceso, en sus errores estndar de los coeficientes de la regresin. Considera a todos los coeficientes colectivamente. El lmite puede ser establecido en 1 3p/n, los valores mayores al lmite hacen el proceso ms eficiente y los menores ms ineficiente La medida SDFFIT es el grado en que cambian los valores

ajustados o pronosticados cuando el caso se elimina. El valor lmite es 2*raz((k+1)/(n-k-1)) 306 Ejemplo de regresin mltiple Solucin con Excel y Minitab 307 Ejemplo de Regresin Mltiple Cat. (US News) Stanford 1 Harvard 2 Penn (Wharton) 3 MIT (Sloan) 4 Chicago 5 Northwestern 6 Columbia 7 Dartmouth 8 Duke 9 Berkeley 10

Virginia 11 Michigan 12 NYU 13 Carnegie Mellon 14 Yale 15 U.N.C. 16 UCLA 17 Texas-Austin 18 Indiana 19 Cornell 20 Rochester 21 Ohio State 22 Emory 23 Purdue 24 Maryland 25 GMAT 711

670 662 650 680 660 660 670 646 653 660 645 646 640 675 630 651 630 630 637 630 611 626 603 640 Salario Inicial ($) 82000 80000 79000 78000 65000 70000 83000

70000 67500 70000 66000 65000 70583 67200 65000 60000 65000 60000 61500 64000 58500 61000 60000 63700 53000 % Aceptacin 7.4 12.8 14.7 15.1 25.0 16.0 14.8 12.6 20.5 13.3 18.9 28.0 20.9

30.8 23.5 19.8 17.5 27.3 44.7 25.4 36.0 23.2 33.0 20.7 18.9 nterpretacin de Resultados de Excel- Regresin Multiple SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.8749313 R Square 0.76550478 Adjusted R Square Observations 25 ANOVA df Regression 3 8.17E-07 Residual 21

0.732005463 Standard Error 4050.855918 SS MS 1.12E+09 F 374977790.1 Significance F 22.851355 3.45E+08 16409433.67 Total 1.47E+09 24 Coefficients Standard t Stat P-value Lower 95% U pper 95% Error Intercept 122481.40 41473.13 2.953271081 0.007589 36233.29 208729.5

X Variable1 -926.873 -513.424 X Variable2 -59.9488 65.76118 198.8104 -4.662094325 0.0001336 60.44875 -0.991730876 0.3326192 -1340.32 -185.659 Resultados de Excel- Regresin slo con slo X1 SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.855974 R Square 0.732691 Adjusted R Square Standard Error Observations 0.721069 4132.688 25 ANOVA df

SS F Regression 63.04264 Residual 1 1.08E+09 4.88E-08 23 3.93E+08 Total 24 MS F Significance 1.08E+09 17079107 1.47E+09 Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Con

el simplifica enormemente Intercept 79230.32 46.49801 2.98E-24 Conslo sloX1, X1, elModelo Modelose se1703.951 simplifica enormemente 75705.43405 82755.20595 prctica se pierde en R22 (ajustada) poca importancia poca importancia prctica se pierde4.88E-08-1147.186411 en R (ajustada) X Variable1 -910.077 114.6201 -7.93994 672.9674353 Reduccin Modelo Vuelva a del correr la regresin usando la categora US News, como el nico agente de prediccin (predictor) La ecuacin de regresin es:

y = 79230 - 910 x Predictor Constante x Coef 79230 -910.1 Desv. Estndar 1704 114.6 S = 4133 R2 = 73.3% T 46.50 -7.94 p 0.000 0.000 R2 (ajustada) = 72.1% Anlisis de Variancia Fuente Regresin Error Total

DF 1 23 24 SS 1076712008 392819470 1469531477 MS 1076712008 17079107 F 63.04 p 0.000 El El Modelo Modelo se se simplifica simplifica enormemente..poca enormemente..poca 22 importancia prctica se pierde en R

importancia prctica se pierde en R (ajustada) (ajustada) Corrida en Minitab Se introducen los datos en varias columnas C1 a C5 incluyendo la respuesta Y (heatflux) y las variables predictoras Xs (North, South, East) HeatFlux Insolation East South 271.8 783.35 33.53 40.55 16.66 264.0 748.45 36.50 36.19 16.46

238.8 684.45 34.66 37.31 17.66 230.7 827.80 33.13 32.52 17.50 251.6 860.45 35.75 33.71 16.40 257.9 875.15 34.46 34.14 16.28 North

312 Corrida en Minitab Utilzar el archivo de ejemplo Exh_regr.mtw Opcin: Stat > Regression > Regression Para regresin lineal indicar la columna de respuesta Y (Score2) y X (Score1) En Regresin lienal en opciones se puede poner un valor Xo para predecir la respuesta e intervalos. Las grficas se obtienen Stat > Regression > Regression > Fitted line Plots Para regresin mltiple Y (heatflux) y las columnas de los predictores (north, south, 313 east) Resultados de la regresin lineal The regression equation is Score2 = 1.12 + 0.218 Score1 Predictor Constant

Score1 Coef SE Coef T P 1.1177 0.1093 10.23 0.000 0.21767 0.01740 12.51 0.000 S = 0.1274 R-Sq = 95.7% R-Sq(adj) = 95.1% Analysis of Variance

Source Regression DF SS MS F P 1 2.5419 2.5419 156.56 0.000 Residual Error 7 Total 0.1136 8 0.0162

2.6556 Predicted Values for New Observations New Obs 1 2.6414 Fit SE Fit 0.0474 95.0% CI ( 2.5292, New Obs 2.7536) Score1 95.0% PI ( 2.3197, 2.9631) 314

Resultados de la regresin lineal Regression Plot Score2 = 1.11771 + 0.217670 Score1 S = 0.127419 R-Sq = 95.7 % R-Sq(adj) = 95.1 % Score2 3.5 2.5 Regression 1.5 95% CI 95% PI 2 3 4 5 6 7

8 9 Score1 315 Resultados de la regresin Mltiple The regression equation is HeatFlux = 389 - 24.1 North + 5.32 South + 2.12 East Predictor Coef SE Coef T P 389.17 66.09 5.89 0.000 North

-24.132 1.869 -12.92 0.000 South 5.3185 0.9629 5.52 0.000 2.125 1.214 1.75 0.092 Constant East S = 8.598 R-Sq = 87.4%

R-Sq(adj) = 85.9% Analysis of Variance Source Regression DF SS MS F P 3 12833.9 4278.0 57.87 0.000 Residual Error 25 1848.1 Total

28 73.9 14681.9 Source DF Seq SS North 1 10578.7 South 1 2028.9 East 1 226.3 316

7A2. Resumen de la Regresin La regresin slo puede utilizarse con informacin de variables continuas. Los residuos deben distribuirse normalmente con media cero. Importancia prctica: (R2). Importancia estadstica: (valores p) La regresin puede usarse con un predictor X o ms, para una respuesta dada Reduzca el modelo de regresin cuando sea posible, sin perder mucha importancia prctica 317 7.B Pruebas de hiptesis 318 7B. Pruebas de hiptesis 1. 2. 3. 4. Conceptos fundamentales Estimacin puntual y por intervalo Pruebas para medias, varianzas y proporciones Pruebas comparativas para varianzas, medias y prop. 5. 6. 7. 8.

Bondad de ajustes Anlisis de varianza (ANOVA) Tablas de contingencia Pruebas no paramtricas 319 7B1. Conceptos fundamentales 320 Anlisis Estadstico En CADA prueba estadstica, se comparan algunos valores observados a algunos esperados u otro valor observado comparando estimaciones de parmetros (media, desviacin estndar, varianza) Estas estimaciones de los VERDADEROS parmetros son obtenidos usando una muestra de datos y calculando los ESTADSTICOS... La capacidad para detectar un diferencia entre lo que es observado y lo que es esperado depende del desarrollo de la muestra de datos Incrementando el tamao de la muestra mejora la estimacin y tu confianza en las conclusiones estadsticas. 321 7B1. Conceptos fundamentales

Hiptesis nula Ho Es la hiptesis o afirmacin a ser probada Puede ser por ejemplo , , , = 5 Slo puede ser rechazada o no rechazada Hiptesis alterna Ha Es la hiptesis que se acepta como verdadera cuando se rechaza Ho, es su complemento Puede ser por ejemplo = 5 para prueba de dos colas < 5 para prueba de cola izquierda > 5 para prueba de cola derecha Esta hiptesis se acepta cuando se rechaza Ho 322 7B1. Conceptos fundamentales Ejemplos: Se est investigando si una semilla modificada

proporciona una mayor rendimiento por hectrea, la hiptesis nula de dos colas asumir que los rendimientos no cambian Ho: Ya = Yb Se trata de probar si el promedio del proceso A es mayor que el promedio del proceso B. La hiptesis nula de cola derecha establecer que el proceso A es <= Proceso B. O sea Ho: A <= B. 323 7B1. Conceptos fundamentales Estadstico de prueba Error tipo I (alfa = nivel de significancia, normal=.05) Para probar la hiptesis nula se calcula un estadstico de prueba con la informacin de la muestra el cual se compara a un valor crtico apropiado. De esta forma se toma una decisin sobre rechazar o no rechazar la Ho Se comete al rechazar la Ho cuando en realidad es

verdadera. Tambin se denomina riesgo del productor Error tipo II (beta ) Se comete cuando no se rechaza la hiptesis nula siendo en realidad falsa. Es el riesgo del consumidor 324 7B1. Conceptos fundamentales Tipos de errores Se asume que un valor pequeo para es deseable, sin embargo esto incrementa el riesgo . Para un mismo tamao de muestra n ambos varan inversamente Incrementando el tamao de muestra se pueden reducir ambos riesgos. Decisin realizada Ho en realidad es Verdadera Ho en realidad es falsa No hay evidencia para rechazar Ho p = 1-

Decisin correcta p= Error tipo II Rechazar Ho p= Error tipo I p=1- Decisin correcta 325 7B1. Conceptos fundamentales Pruebas de dos colas Si la Ho: , , , = cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se reparte en ambos extremos de la distribucin. Por ejemplo si Ho = 10 se tiene: P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2 P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2 326

7B1. Conceptos fundamentales Pruebas de una cola Si la Ho: , , , >= Cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en la cola izquierda de la distribucin. Por ejemplo si Ho: >= 10 y Ha: < 10 se tiene una prueba de cola izquierda: P(Z <= - Zexcel ) = alfa 327 7B1. Conceptos fundamentales Pruebas de una cola Si la Ho: , , , <= Cte. que un valor poblacional, entonces el riesgo alfa se coloca en la cola derecha de la distribucin. Por ejemplo si Ho: <= 10 y Ha: > 10 se tiene una prueba de cola derecha: P(Z>= + Zexcel ) = alfa

328 7B1. Conceptos fundamentales Tamao de muestra requerido Normalmente se determina el error alfa y beta deseado y despus se calcula el tamao de muestra necesario para obtener el intervalo de confianza. El tamao de muestra (n) necesario para la prueba de hiptesis depende de: El riesgo deseado tipo I alfa y tipo II Beta El valor mnimo a ser detectado entre las medias de la poblacin (Mu Mu0) La variacin en la caracterstica que se mide (S o 329 sigma) 7B1. Conceptos fundamentales

El Tamao de muestra requerido en funcin del error mximo E o Delta P intervalo proporcional esperado se determina como sigue:2 2 n Z /2 E2 Z 2 / 2 ( p )(1 p ) n ( p ) 2 Z 2 / 2 2 n (X )2 Z 2 / 2 ( )( 1 ) n ( p )2 330 7B1. Conceptos fundamentales

Ejemplo: Cul es el tamao de muestra mnimo que al 95% de nivel de confianza (Z=1.96) confirma la significancia de una corrida en la media mayor a 4 toneladas/hora (E), si la desviacin estndar (sigma) es de 20 toneladas? n = (1.96^2)(20^2)/(4)^2 = 96 Obtener 96 valores de rendimiento por hora y determinar el promedio, si se desva por ms de 4 toneladas, ya ha ocurrido un cambio significativo al 95% de nivel de confianza 331 Efecto del tamao de muestra 332 Efecto del tamao de muestra 333 Efecto del tamao de muestra 334 Efecto del tamao de muestra

335 Potencia de la prueba La potencia de una prueba estadstica es su habilidad para detectar una diferencia crtica Potencia 1 Si Beta = 0.1 la potencia es del 90% Delta se puede normalizar dividindolo entre la desviacin estndar y se expresa en un cierto nmero de (1 , 1.5 ) 336 Potencia de la prueba La potencia de la prueba es la probabilidad de de rechazar correctamente la hiptesis nula siendo que en realidad es falsa.

El anlisis de potencia puede ayudar a contestar preguntas como: Cuntas muestras se deben tomar para el anlisis? Es suficiente el tamao de muestra? Qu tan grande es la diferencia que la prueba puede detectar? Son realmente valiosos los resultados de la prueba? 337 Potencia de la prueba Para estimar la potencia, Minitab requiere de dos de los siguientes parmetros: Tamaos de muestra Diferencias - un corrimiento significativo de la media que se desea detectar Valores de potencia - La probabilidad deseada de rechazar Ho cuando es falsa

338 Considerando la potencia de prueba 339 Estimacin de riesgos 340 Pruebas de Minitab Permite hacer las siguientes pruebas: Prueba Prueba Prueba Prueba Prueba z de una muestra t de una muestra

t de dos muestras de 1 proporcin de 2 proporciones ANOVA Diseos factoriales de dos niveles Diseos de Packett Burman 341 Calculo manual 342 Calculo manual 343 Calculo manual de tamao de muestra 344 Calculo manual de tamao de muestra Pruebas de una cola 345 Calculo manual de tamao de muestra Pruebas de una cola 346

Ejemplo con prueba de una media t Ejemplo: Se tiene una poblacin normal con media de 365 y lmites de especificacin de 360 y 370. Si la media se desplaza 2.5 gramos por arriba de la media, el nmero de defectos sera inaceptable, la desviacin CORRI DAes DE 2.5 EN PROMEDI O estndar histrica deGRS. 2.403: 0.18 LIE 360 0.16 Ha: Corrida 367.5 Ho: Meta 365 Variable Original Corrida LIE 370 0.14 0.12

Y-Data 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 355 360 365 C1 370 375 347 Ejemplo con prueba de una media t Stat > Power and Sample Size > 1 - Sample t Completar el dilogo como sigue: 348 Ejemplo con prueba de una media t Los resultados se muestran a continuacin:

Power and Sample Size 1-Sample t Test Testing mean = null (versus not = null) Calculating power for mean = null + difference Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 2.403 Se tiene un 53.76% de Potencia para detectar una diferencia de 2.5 si se usan 6 muestras O sea que hay una probabilidad del 46.24% que no se rechaze Ho y se concluya que no hay diferencia significativa. cuntas muestras se requieren para tener un 80% de probabilidad de detectar el corrimiento, y para 85%, 90% y 95%? Sample Difference Size Power 2.5 6 0.537662 349 Ejemplo con prueba de una media t Stat > Power and Sample Size > 1 - Sample t Se cambia este parmetro Los resultados se muestran a continuacin: Difference 2.5 2.5 2.5

2.5 Sample Size 10 11 12 15 Target Power 0.80 0.85 0.90 0.95 Actual Power 0.832695 0.873928 0.905836 0.962487 Si la potencia es demasiado alta por decir 99% se pueden detectar diferencias que realmente no son significativas. 350 Ejemplo con prueba de 2 medias t Ejemplo: La potencia de una prueba depende de la diferencia que se quiera detectar respecto a la desviacin estndar, para una sigma poner 1 en diferencia y desviacin estndar, con valores deseados de Potencia de 0.8 y 0.9.

Stat > Power and Sample Size > 2 - Sample t Power and Sample Size 2-Sample t Test Testing mean 1 = mean 2 (versus not =) Calculating power for mean 1 = mean 2 + difference Alpha = 0.05 Assumed standard deviation = 1 Sample Target Difference Size Power Actual Power 1 17 0.8 0.807037 1 23 0.9 0.912498 Se requieren tamaos de muestra de entre 17 y 23 351 Ejemplo con prueba de 1 proporcin Para estimar la potencia, Minitab requiere de dos de los siguientes parmetros: * Tamaos de muestra * La proporcin - una proporcin que se desea detectar con alta probabilidad * Valores de potencia - La probabilidad deseada de rechazar Ho cuando es falsa Suponiendo que se desea detectar una proporcin de 0.04 con el 0.8 y 0.9 de niveles de Potencia:

Proporcin que se desea detectar con alta probabilidad (0.80, 0.90) Es la proporcin de la Hiptesis nula 352 Ejemplo con prueba de 1 proporcin Test for One Proportion Testing proportion = 0.02 (versus > 0.02) Alpha = 0.05 Alternative Sample Target Proportion Size Power Actual Power 0.04 391 0.8 0.800388 0.04 580 0.9 0.900226 Si se desea saber la Potencia si se utiliza un tamao de muestra de 500 se tiene: Stat > Power and Sample Size > 2 - Sample t Sample sizes = 500 Alternative values of p = 0.04 Options: Greater Than Significance Level = 0.05 Test for One Proportion Testing proportion = 0.02 (versus > 0.02)

Alpha = 0.05 Alternative Sample Proportion Size Power 0.04 500 0.865861 Por tanto con un tamao de muestra de 500, la potencia de la prueba para detectar un corrimiento de 2% a 4% es del 86.6% 353 Ejercicios Calcular los tamaos de muestra necesarios para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas): a. 1-muestra Z a=0.05, b=0.1 y 0.2, d = 1.5s b. 1-muestra t a=0.05, b=0.1 y 0.2, d = 1.5s c. 1-muestra t a=0.01, b=0.05, d = 0.5s y 1.0s d. 2-muestras t a=0.05, b=0.1, d = 1.5s y 2.0s 2. Calcular la potencia de la prueba para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas): a. 1-muestra Z a=0.05, d = 0.5s, n = 25, 35 b. 1-muestra t a=0.05, d = 1.0s, n = 10, 20 c. 1-muestra t a=0.01, d = 1.0s, n = 10, 25 d. 2-muestras t a=0.05, d = 0.5s, n = 10, 25, 50, 75, 100 354 Ejercicios Calcular el tamao de muestra requerido para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas):

a. 1-proporcin a=0.05, b=0.1 & 0.2, P0 = 0.5, PA = 0.6 b. 1-proporcin a=0.01, b=0.1 & 0.2, P0 = 0.8, PA = 0.9 c. 2-proporcin a=0.05, b=0.1, P0 = 0.5, PA = 0.6, 0.8 d. 2-proporciones a=0.01, b=0.1, P0 = 0.8, PA = 0.85, 0.95 2. Calcular la potencia de la prueba para los siguientes escenarios (usar pruebas de dos colas): a. 1-proporcin a=0.05, P0 = 0.5, PA = 0.6, n = 250, 350 b. 1-proporcin a=0.01, P0 = 0.9, PA = 0.95, n = 400, 500 c. 2-proporciones a=0.05, P0 = 0.5, PA = 0.6, n = 250, 350 d. 2-proporciones a=0.01, P0 = 0.9, PA = 0.95, n = =400, 500 355 7B2. Estimacin puntual y por intervalo 358 7B2. Estimacin puntual y por intervalo Las medias o desviaciones estndar calculadas de una muestra se denominan ESTADSTICOS, podran ser consideradas como un punto estimado de la media y desviacin estndar real de poblacin o de los PARAMETROS. Qu pasa si no deseamos una estimacin puntual como media basada en una muestra, qu otra cosa podramos

obtener como margen, algn tipo de error? Un Intervalo de Confianza 359 Intervalo de confianza Error de estimacin P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2 P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2 Intervalo de confianza donde se encuentra el parmetro con un NC =1- 360 7B2. Estimacin puntual y por intervalo Cmo obtenemos un intervalo de confianza? Estimacin puntual + error de estimacin De dnde viene el error de estimacin? Desv. estndar X multiplicador de nivel de confianza deseado Z/ 2 Por Ejemplo: Si la media de la muestra es 100 y la desviacin estndar es 10, el intervalo de confianza al 95% donde se

encuentra la media para una distribucin normal es: 100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025 361 7B2. Estimacin puntual y por intervalo 95% de Nivel de Confianza significa que slo tenemos un 5% de oportunidad de obtener un punto fuera de ese intervalo. Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos que para un rea de 0.025, corresponde a una Z de 1.960. C. I. 99 Multiplicador Z/2 2.576 95 1.960 90 1.645 85 1.439 80 1.282 Para tamaos de muestra >30, o conocida usar la distribucin Normal Para muestras de menor tamao, o desconocida usar la distribucin t 362

7B2. Estimacin puntual y por intervalo para .n 30 X Z n 2 para .n 30 X t 2 ( n 1) s 2 2 2 ,n 1 2 n ( n 1) s 2

2 1 p Z 2 ; con n-1 gl. 2 ,n 1 p (1 p ) n 363 Para n grande el IC es pequeo 364 Para n grande el IC es pequeo 365 Ejemplo Dadas las siguientes resistencias a la tensin:

28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psi Estimar la media puntual X media = 28.08 con S = 1.02 Estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 con n-1=3 grados de libertad) Xmedia3.182*S/n = 28.083.182*1.02/2=(26.46, 29.70) 366 Ejemplos para la media con Distribucin normal Z Z 1. El peso promedio de una muestra de 50 bultos de productos Xmedia = 652.58 Kgs., con S = 217.43 Kgs. Determinar el intervalo de confianza al NC del 95% y al 99% donde se encuentra la media del proceso (poblacional). Alfa = 1 - NC 2. Un intervalo de confianza del 90% para estimar la ganancia promedio del peso de ratones de laboratorio oscila entre 0.93 y 1.73 onzas. Cul es el valor de Z?. 3. 100 latas de 16 onzas de salsa de tomate tienen una media de Xmedia = 15.2 onzas con una S = 0.96 onzas. A un nivel de confianza del 95%, las latas parecen estar llenas con 16 onzas?. 4. Una muestra de 16 soluciones tienen un peso promedio de 16.6 onzas con S = 3.63. Se rechaza la solucin si el peso promedio de todo el lote no excede las 18 onzas. Cul es la decisin a un 90% de nivel de confianza?. 367 Ejemplos para la media y

varianza con Distribucin t t 5. 20 cajas de producto pesaron 102 grs. Con S = 8.5 grs. Cul es el intervalo donde se encuentra la media y varianza del lote para un 90% de nivel de confianza?. Grados libertad=20 -1 =19 6. Una muestra de 25 productos tienen un peso promedio de 23.87 grs. Con una S = 9.56. Cul es la estimacin del intervalo de confianza para la media y varianza a un nivel de confianza del 95 y del 98% del peso de productos del lote completo?. 7. Los pesos de 25 paquetes enviados a travs de UPS tuvieron una media de 3.7 libras y una desviacin estndar de 1.2 libras. Hallar el intervalo de confianza del 95% para estimar el peso promedio y la varianza de todos los paquetes. Los pesos de los paquetes se distribuyen normalmente. 368 Ejemplos para proporciones con Distribucin Z Z 8. De 814 encuestados 562 contestaron en forma afirmativa. Cul es el intervalo de confianza para un 90% de nivel de confianza? 9. En una encuesta a 673 tiendas, 521 reportaron problemas de robo por los empleados Se puede concluir con un 99% de nivel de confianza que el 78% se encuentra en el intervalo de confianza. ? 369 Instrucciones con Minitab Intervalo de confianza para la

media Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z, t Variable -- Indicar la columna de los datos o Summarized Data En caso de requerirse dar el valor de Sigma = dato En Options: Indicar el Confidence level -- 90, 95 o 99% OK 370 Instrucciones con Minitab Intervalo de confianza para proporcin Stat > Basic Statistics > 1-Proportion Seleccionar Summarized Data Number of trials = n tamao de la muestra Number of events = D xitos encontrados en la muestra En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Seleccionar Use test and interval based in normal distribution 371 7B3. Pruebas de hiptesis para medias, varianzas y proporciones 372 Elementos de una

Prueba de Hiptesis Prueba Estadstica- Procedimiento para decidir no rechazar Ho aceptando Ha o rechazar Ho. Hiptesis Nula (Ho) - Usualmente es una afirmacin representando una situacin status quo. Generalmente deseamos rechazar la hiptesis nula. Hiptesis Alterna (Ha) - Es lo que aceptamos si podemos rechazar la hiptesis nula. Ha es lo que queremos probar. 373 Elementos de una Prueba de Hiptesis Estadstico de prueba: Calculado con datos de la muestra (Z, t, X2 or F). Regin de Rechazo Indica los valores de la prueba estadstica para que podamos rechazar la Hiptesis nula (Ho). Esta regin esta basada en un riesgo deseado, normalmente 0.05 o 5%. 374 Pasos en la Prueba de Hiptesis 1. Definir el Problema - Problema Prctico 2. Sealar los Objetivos - Problema Estadstico 3. Determinar tipo de datos - Atributo o Variable 4. Si son datos Variables - Prueba de Normalidad 375

Pasos en la Prueba de Hiptesis 5. Establecer las Hiptesis - Hiptesis Nula (Ho) - Siempre tiene el signo =, , 2 Ho : , , , , parametro de la hipotesis - Hiptesis Alterna (Ha) Tiene signos , > o <. Ha : , 2 , , , parametro de la hipotesis El signo de la hiptesis alterna indica el tipo de prueba a usar 376 Elementos de una Prueba de Hiptesis Pruebas de Hiptesis de dos colas: Ho: a = b Regin de Rechazo Ha: a b -Z Regin de Rechazo Z 0 Pruebas de Hiptesis de cola derecha: Ho: a b Ha: a > b

Pruebas de Hiptesis cola izquierda: Ho: a b Regin de Ha: a < b Regin de Rechazo 0 Z Rechazo -Z 0 Z Pasos en la Prueba de Hiptesis 6. Seleccionar el nivel de Alfa (normalmente 0.05 o 5%) o el nivel de confianza NC = 1 - alfa 7. Establecer el tamao de la muestra, >= 10. 8.Desarrollar el Plan de Muestreo 9.Seleccionar Muestras y Obtener Datos 10. Decidir la prueba estadstica apropiada y calcular el estadstico de prueba (Z, t, X2 or F) a partir de los datos. 378

7B3 Estadsticos para medias, varianzas y proporciones X ;Una.media; n 30; conocida / n X t ;Una.media; n 30; desconocida S/ n S12 F 2 ; DF n1 1, n2 1; prueba.dos. var ianzas S2 Z t X1 X 2 ; dos.medias; ' s desconocidas. pero. 1 1 Sp / n1 n2 Sp t ( n1 1) s12 ( n2 1) s22 ; DF n1 n2 2 n1 n2 2

X1 X 2 2 1 2 2 s s n1 n2 ; dos.medias; ' s desconocidas.diferentes DF formula.especial 379 7B3 Estadsticos para medias, varianzas y proporciones Para el caso de muestras pareadas se calculan las diferencias d individuales como sigue: t X 2 X

2 d ; Pares.de.medias; d i . para.cada. par Sd / n ( n 1) S 2 2 ; DF ( n 1); prueba.una.v ar ianza (O E ) 2 ; DF ( r 1)(c 1); bondad .ajuste E 380 Pasos en la Prueba de Hiptesis 11. Obtener el estadstico correspondiente de tablas o Excel. 12.Determinar la probabilidad de que el estadstico de prueba calculado ocurre al azar. 13.Comparar el estadstico calculado con el de tablas y ver si cae en la regin de rechazo o ver si la probabilidad es menor a alfa, rechaze Ho y acepte Ha. En caso contrario no rechaze Ho.

14.Con los resultados interprete una conclusin estadstica para la solucin prctica. 381 Estadstico Prueba de Hiptesis Calculado con Datos de la muestra Pruebas de Hiptesis de dos colas: Ho: a = b Ha: a b Regin de Rechazo Regin de Rechazo -Z Z 0 Pruebas de Hiptesis de cola derecha: Ho: a b Ha: a > b Pruebas de Hiptesis cola izquierda: Ho: a b Regin de

Ha: a < b Regin de Rechazo 0 Z Rechazo -Z 0 Z Prueba de hiptesis para la varianza Las varianzas de la poblacin se ditribuyen de acuerdo a la distribucin Chi Cuadrada. Por tanto las inferencias acerca de la varianza poblacional se basarn en este estadstico La distribucin Chi Cuadrada se utiliza en: Caso I. Comparacin de varianzas cuando la varianza de la poblacin es conocida Caso II. Comparando frecuencias observadas y esperadas de resultados de pruebas cuando no hay una varianza de la poblacin definida (datos

por atributos) 383 Prueba de hiptesis para la varianza Las pruebas de hiptesis para comparar una varianza poblacional a un cierto valor constante 0, si la poblacin sigue la distribucin normal es: Con el estadstico Chi Cuadrada con n-1 grados de libertad 384 Prueba de hiptesis para la varianza 2.17 Ejemplo: El material muestra una variacin (sigma) en la resistencia a la tensin menor o igual a 15 psi con 95% de confianza?. En una muestra de 8 piezas se obtuvo una S = 8psi. X^2c =(7)(8)^2/(15)^2 = 1.99 Como La Chi calculada es menor a la Chi de Excel de 2.17 se debe rechazar la hiptesis nula. Si hay decremento en la resistencia 385

Prueba de hiptesis para atributos Ejemplo: Un supervisor quiere evaluar la habilidad de 3 inspectores para detectar radios en el equipaje en un aeropuerto. Hay diferencias significativas para un 95% de confianza? Valores observados O Inspector Inspector 1 2 Inspector 3 Total por tratamient o Radios detectados 27 25 22 74 Radios no

detectados 3 5 8 16 Total de la muestra 30 30 30 90 386 Prueba de hiptesis para atributos Ho: p1 = p2 = p3 Ha: p1 p2 p3 Grados de libertad = (No. de columnas -1)*(No. renglones -1) Las frecuencias esperadas son: (Total columna x Total rengln) Valores esperados E

Inspector Inspector 1 2 Inspector 3 Total por tratamient o Radios detectados 24.67 24.67 24.67 74 Radios no detectados 5.33 5.33 5.33 16

Total de la muestra 30 30 30 90 387 Prueba de hiptesis para atributos El estadstico Chi Cuadrado en este caso es: El estadstico Chi Cuadrada de alfa = 0.05 para 4 grados de libertad es 5.99. El estadstico Chi Cuadrada calculada es menor que Chi de alfa, por lo que no se rechaza Ho y las habilidades son similares 5.99 388 Ejemplo de Prueba de hiptesis para la media Para una muestra grande (n>30)probar la hiptesis de una media u 1.) Ho: 2.) Ha: 3.) Calcular el estadstico de prueba 4.) Establecer la regin de rechazo Las regiones de rechazo para prueba de 2 colas: -Z Z Zcalc=

Regin de Rechazo s n Regin de Rechazo 0 -Z Si el valor del estadstico de prueba cae en la regin de rechazo rechazaremos Ho de otra manera no podemos rechazar Ho. Prueba de hiptesis de una poblacin para muestras grandes con Z Parecera ser correcta la afirmacin de que se mantiene el precio promedio de las computadoras en $2,100? Probarlo a un 5% de nivel de significancia Datos Minoristas n 64 media mu = 2100 Precio prom. X 2251

Desv. Estndar s 812 (Alfa = 0.05 Paso 1. Establecimiento de hiptesis Ho: uC = 2100 Se inicia con el planteamiento de la hiptesis nula Por tanto se trata de una prueba de dos colas Ha: uC <> 2100 Paso 2. Clculo del estadstico de prueba Zc 151 = > Zc = 1.48768473 X HIPOTESIS .NULA Zc s n 101.5 Error estndar Como el valor de Zc es positivo se comparar contra de Zexcel (1-alfa/2) positivo Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para el valor de probabilidad (Alfa / 2): Ze ( 0.025 ) = 1.95996398 DIST.NORM.STAND.INV.( -0.025 ) 390 Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel se tiene P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2

Zexcel ( P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2 #REF! ) -1.95996398 Zexcel ( 1.959963985 Zc = -0.025 ) 1.487684729 Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el rea de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para RECHAZAR Ho Se concluye que el precio promedio no es diferente de $2,100 O Como el valor P = 0.068 correspondiente a la Z calculada Zc es mayor que el valor de Alfa / 2 = 0.025, tambin nos da el criterio para NO RECHAZAR la Ho Paso 5. El Intervalo de confianza para la media poblacional al nivel de confianza 1-Alfa IC. para.estimar. X Z s

2 n Error estndar Z alfa/2 Intervalo de confianza (1-Alfa = 0.95 Porciento) 101.5 1.95996398 2251 El intervalo de confianza incluye a la media de la hiptesis por tanto no se rechaza la Ho. 2052.064 <= <= ### ) 198.936344 391 Prueba de hiptesis de una poblacin para muestras pequeas con t Se piensa que las ventas promedio de $5,775 se han incrementado gracias a la campaa publicitaria Probar esta afirmacin a un nivel de significancia alfa de 1% Se inicia con el planteamiento de la hiptesis Alterna

Datos Semanas n 15 media mu = 5775 Ventas prom X 6012 Desv. Estndar s 977 (Alfa = 0.01 (1-Alfa = 0.99 (Alfa/2 = 0.005 (1-Alfa/2 = 0.995 Paso 1. Establecimiento de hiptesis Ho: uC <= 5775 Ha: uV > 5775 Se Paso 2. Clculo del estadstico de prueba tc X HIPOTESIS tc s n

. NULA trata de una prueba de cola derecha 237 252.2603153 = > tc = 0.93950568 Error estndar NOTA:En excel poner 2alfa para obtener t de alfa Como el valor de tc es positivo se comparar contra de t excel (1- alfa) positivo Paso 3. Determinar la te de Excel o de tablas para Alfa 0.01 te ( 0.99 2.62449406 Gl=14; DIST.T.INV( 0.02 , gl. 14 ) 392 Paso 4. Comparando los valores tc calculado contra t excel se tiene

P(t >= + t excel ) = alfa texcel ( 2.62449406 tc = 0.939505684 0.02 gl. 14) Valor p para tc es igual a P(tc) = 0.368130427 rechazo, p > Alfa Como tc es menor que texcel, no cae en el rea de y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho Se concluye que la publicidad no ha tenido efecto en las ventas Como el valor de P para Zc es 0.368 mayor a O Paso 5. El Intervalo de confianza para la media poblacional al nivel Alfa = 0.05 no se rechaza Ho (1-Alfa = 99 Porciento) s Error estndar 252.260315

2 n Z alfa/2 2.62449406 Como el intervalo de confianza Intervalo de confianza 6012 662.0557002 contiene a la media Hiptesis no se rechaza Ho 5349.94 <= <= 6674.06 ) IC . para.estimar . X t 393 Prueba de hiptesis para una proporcin con Z El gerente de mercado considera que el 50% de sus clientes gasta menos de $10 en cada visita a la tienda. Ests de acuerdo con esta afirmacin a un nivel de significancia del 5%? Se inicia con el planteamiento de la hiptesis nula Datos Clientes n 50 Proporcin media = 0.5 p 0.6 30 gastaron menos de$10 (Alfa = 0.05

(1-Alfa = 0.95 (Alfa/2 = 0.025 (1-Alfa/2 = 0.975 Paso 1. Establecimiento de hiptesis Ho : c 0.5 Ha : c 0.5 Se trata de una prueba de dos colas Paso 2. Clculo del estadstico de prueba Zc Zc p HIPOTESIS . NULA 0.1 HIP . NULA (1 HIP . NULA ) n 0.07071068 = > Zc = 1.41421356 Error estndar Como el valor de Zc es positivo se comparar contra de Zexcel (alfa/2) positivo

Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para Ze ( (1-Alfa/2 = 1.95996398 (1-Alfa/2 = 0.975 DIST.NORM.STAND.INV.( 0.975 ) 394 Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel se tiene P(Z <= - Zexcel ) = alfa/2 Zexcel ( P(Z>= Zexcel ) = alfa/2 0.025 ) -1.95996398 Zexcel ( 1.95996398 Zc = 0.975 ) 1.41421356

Valor p para Zc es igual a P(-Zc) = 0.07926984 p > Alfa /2 Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el rea de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho y se concluye que el porcentaje que compra menos de $10 no difiere del 50% de clientes Como el valor P de Zc es 0.079 mayor a Alfa/2 no se rechaza Ho O Paso 5. El Intervalo de confianza para la media poblacional al nivel IC . para.estimar . p Z 2 (1-Alfa = Porciento) Error estndar 0.07071068 Z alfa/2 1.41421356 p (1 p ) n Intervalo de confianza Como la media de p = 0.6 se encuentra dentro del intervalo, no se rechaza Ho

95 ( 0.5 0.6 <= 0.7 0.1 ) 395 Instrucciones con Minitab para la prueba de hiptesis de una media Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z, t Variable -- Indicar la columna de los datos o Summarized Data En caso de requerirse dar el valor de Sigma = dato Proporcionar la Media de la hiptesis Test Mean En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar el signo de la hiptesis alterna: Less Than, Not

equal, Greater than OK 396 Instrucciones con Minitab para la prueba de hiptesis de una proporcin Stat > Basic Statistics > 1-Proportion Seleccionar Summarized Data Number of trials = n tamao de la muestra Number of events = D xitos encontrados en la muestra En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la Test Proportion Proporcin de la hiptesis Indicar el signo de la hiptesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than Seleccionar Use test and interval based in normal distribution OK 397 7B4. Pruebas de hiptesis para comparacin de varianzas, medias, y proporciones 398 Prueba de Hiptesis Supongamos que tenemos muestras de dos reactores que producen el mismo artculo. Se desea ver si hay

diferencia significativa en el rendimiento de Reactor a Reactor A Reactor B Reactor. Estadsticas Descriptivas 89.7 84.7 81.4 86.1 84.5 83.2 84.8 91.9 87.3 86.3 Rendimiento A 10 84.24 2.90 79.7

79.3 B 10 85.54 3.65 85.1 82.6 81.7 89.1 83.7 83.7 84.5 88.5 Variable Reactor N Media Desv.Std Prueba de Hiptesis Pregunta Prctica: Existe diferencia entre los

reactores? Pregunta estadstica La media del Reactor B (85.54) es significativamente diferente de la media del Reactor A (84.24)? O, su diferencia se da por casualidad en una variacin de da a da. Ho: Hiptesis Estadstica: No existe diferencia entre los Reactores Ha: Hiptesis Alterna: Las medias de los Reactores son diferentes. Ho: a b Ha: a b Se busca demostrar que los valores observados al parecer no corresponden al mismo proceso, se trata de rechazar Ho. 400 Prueba de Hiptesis Hiptesis Estadstica: No

existe diferencia entre los Reactores Esto se llama Hiptesis Nula (Ho) Hiptesis Alterna: Cuando las medias de Reactores son diferentes. A esto se le llama Hiptesis Alterna (Ha) Debemos demostrar que los valores que observamos al parecer no corresponden al mismo proceso, que la Ho debe estar equivocada 401 Qu representa esto? Reactor A Reactor B B A 80.0 B B B B BB AA AAAA A 82.5

85.0 BB A B 87.5 90.0 92.5 Representan los reactores dos procesos diferentes? Representan los reactores un proceso bsico? 402 Prueba F de dos varianzas Si se toman dos muestras de dos poblaciones normales con varianzas iguales, la razn de sus varianzas crea una distribucin muestral F. Las hiptesis son las siguientes: El estadstico F se muestra a continuacin donde S1 se acostumbra tomar como la mayor 403

Prueba F de dos varianzas Sea S1 = 900 psi, n1 = 9, s2 = 300 psi, n2 = 7. A un 95% de nivel de confianza se puede concluir que hay menor variacin? Ho: Varianza 1 <= Varianza 2 H1: Varianza 1 > Varianza 2 Grados de libertad para Var1 = 8 y para var 2 = 6 Falfa = F(0.05, 8, 6) = 4.15 Fcalculada = (900^2)/(300^2) = 9 >> Falfa, se rechaza Ho. Hay evidencia suficiente para indicar que la variacin ya se ha reducido 404 Prueba de hiptesis de dos pob. comparando varianzas con F Se quiere comprobar si las varianzas de dos diferentes mtodos de ensamble de CDs son diferentes en prod . A un nivel de siginificancia del 5% Qu se puede concluir? No. De CDs Desv. Estan. Varianza Mtodo 1 15 5.4 29.16

n1 s1 2 s1 n2 X2 2 s2 Mtodo 2 17 4.8 23.04 Alfa/2 0.025 Paso 1. Establecimiento de hiptesis Ho : 12 2 2 Ha : 12 2 2 Por tanto se trata de una prueba de dos colas

Paso 2. Clculo del estadstico de prueba Fc Fc Grados de libertad Numerador = n1 - 1 = Denominador = n2 - 1 = 1.266 2 1 2 2 s s 14 16 2 Tomamos a s1 como el mayor para comparar Fc contra Fexcel (1- Alfa/2) Paso 3. Determinar la Fe de Excel o de tablas para Fe (0.975) = 2.81701784 Alfa/2 0.025

DIST.F.INV (0.025, 14,16) 405 Paso 4. Comparando los valores Fc calculado contra Fexcel (0.025) se tiene f(F) P(F>= + 2.81 ) = alfa/2 Fe(0.025) = Fc = 2.81701784 1.266 Valor p para Fc es igual a P(Fc) = 0.32259599 Como Fc es menor que Fexcel, no cae en el rea de rechazo, p > Alfa / 2 y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho Se concluye que la varianza de los dos mtodos de ensamble no difieren significativamente 406 Prueba de hiptesis de dos pob. Comparando dos medias con Z Investigar si el ambiente libre de tensiones mejoran el engorde y la calidad de la carne de vacas

Las varianzas poblacionales son desconocidas Determinar el intervalo de confianza al 90% donde se encuentra la media. Alfa = 0.10 Vacas Peso promedio Desv. Estndar Vacas vacaciones 50 112 32.3 n1 X1 s1 n2 X2 s2 Vacas normales 50 105.7 28.7 Paso 1. Establecimiento de hiptesis Ho : VV VN Como el planteamiento es que las vacas de vacaciones ganan ms peso, se inicia planeando la Ha Ha : VV VN

Paso 2. Clculo del estadstico de prueba Zc Zc X1 X 2 6.3 s12 s 23 n1 n 2 6.110613717 = > Zc = 1.03099301 Tomamos a X1 como el mayor para comparar Zc contra Ze positiva Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para una alfa de 0.1 Ze (0.90) = 1.28155157 DIST.NORM.STAND.INV (0.90) 407 Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel (0.90) se tiene P(Z>= + 1.28) = 0.90

Ze (0.90)= 1.28 Zc = 1.03099301 Valor p para Zc es igual a P(-Zc) = 0.149402368 p > Alfa Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el rea de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho Se concluye que no hay diferencia entre vacas de vacaciones y normales Paso adicional. El Intervalo de confianza del 90% sobre la diferencia de medias poblacionales, con sigmas desconocidas es: X 1 X 2 s12 s 22 n1 n 2 = Error estndar Z (alfa/2) = ( X 1 X 2 ) Z / 2 s X 1 X 2 = Intervalo de confianza La diferencia es del orden de cero,es decir ( 6.11061372 1.64485363

6.3 + - -3.75107 < = u < = 16.3511 ) 10.05106514 408 Prueba de dos medias muestras pequeas Sigmas desconocidas e iguales Sigmas desconocidas y desiguales 409 Prueba de hiptesis de dos pob. Comparando dos medias con t Investigar si hay diferencia en los promedios de las ventas diarias de dos tiendas 2 2 Las varianzas de las dos poblaciones son iguales pero desconocidas 1 2 Determinar el intervalo de confianza al 99% donde se encuentra la media (alfa = 0.01) Tienda 1 Tienda 2 Semanas n1 12 n2

15 Ventas promedio X1 125.4 X2 117.2 Desv. Estandar s1 34.5 s2 21.5 Paso 1. Establecimiento de hiptesis Ho : T 1 T 2 Ha : T 1 T 2 Por tanto se trata de una prueba de dos colas Paso 2. Clculo del estadstico de prueba tc s12 ( n1 1) s 22 ( n 2 1) s n1 n 2 2 19564.25 2 p tc X1 X 2 s 2p n1

s 3p 2 Sp = 782.57 25 8.2 = > tc = 0.75684444 10.8344589 n2 Tomamos a X1 como el mayor para comparar tc contra te positiva Si se toma a X1 como la media menor se debe comparar Zc contra -Ze Paso 3. Determinar la te de Excel o de tablas para una alfa de 0.01 que corresponde a alfa/2 = 0.005 Se tienen n1 + n2 - 2 grados de libertad o sean 25 te (0.01) = 2.78743581 DIST.T.INV (0.01, 25) Asi es para dos colas 410

Paso 4. Comparando los valores tc calculado contra texcel (0.01) se tiene P(t<=-2.787 ) = alfa/2 P(t>=2.787 ) = alfa/2 te(0.01,25) = -2.787 te(0.01, 25) = 2.787 Valor p para tc es igual a P(tc) = 0.46025521 p > Alfa / 2 tc = 0.7568 Como tc es menor que texcel, no cae en el rea de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho Se concluye que no hay diferencia sig. En las ventas de las dos tiendas Paso adicional. El Intervalo de confianza del 99% sobre la diferencia de medias poblacionales, con sigmas desconocidas es: s 2p n1 s 2p = Error estndar n2

( X 1 X 2 ) t / 2 s 2p s 2p = Intervalo de confianza n1 n 2 Se observa una diferencia positiva sin embargo el cero est incluido 10.8344589 (8.2 + - 2.787*10.83) ( -21.98 <= u <= 38.38) 411 Prueba de hiptesis de dos pob. Comparando datos pareados con t Las muestras pareadas de tamao 25 reportaron una diferencia media de 45.2 y una desviacin estndar de las diferencias de 21.6. Pruebe la igualdad de medias a un nivel del 5%. Paso 1. Establecimiento de Hiptesis Ho : 1 2 Ha : 1 2 Paso 2.

Grados de libertad = No. de pares - 1 No. Pares de muestras n = Diferencia media = Desv. Estndar de difs. = Alfa gl = Se calcula el estadstico tc: d tc sd = 25 45.2 21.6 0.05 24 10.462963 n Paso 3. Se determina el valor crtico del estadstico t de Excel o tablas para Alfa / 2

t excel = Excel divide entre 2 colas 2.06389855 DISTR.T.INV(0.05, 24) 0.025 412 Paso 4. Comparando el estadstico tcalculado contra t excel (0.025, 24) se tiene: tc = 10.462963 P(t<=-2.063 ) = alfa/2 P(t>=2.063 ) = alfa/2 te(0.025,24) = -2.063 te(0.025, 24) = 2.063 Valor p para tc es igual a P(t > tc) = 0 p < Alfa / 2 Como tc es mayor que t excel, si cae en el rea de rechazo, y por tanto si hay suficiente evidencia para rechazar Ho y aceptar Ha se concluye que si hay diferencia significativa entre las medias

Paso 5. El intervalo de confianza para las diferencias en medias pareadas es t alfa/2 = Error estndar = Dif. Promedio = I .C. para. d d t / 2 sd n 45.2 Se observa diferencia positiva significativa entre diferencia de medias +- 2.063 0.864 45.2 0.864 43.4176 <= dm < =46.9824 413 Prueba de hiptesis de dos pob. Comparando dos proporciones con Z Investigar si tiene razon el analista sobre si los bonos convertibles se sobrevaloraron ms que los bonos de ingresos.

Probar la hiptesis a un 10% de nivel de significancia o error de equivocarse en rechazar Ho. Convertibles Ingresos Bonos n1 312 n2 205 Alfa Sobrevalorad X1 202 X2 102 1-Alfa 7.8 p1 0.647 p2 0.498 Fraccin de las muestras Paso 1. Establecimiento de hiptesis Ho : 1 2 0....otra. forma....Ho : 1 2 Ha : 1 2 0..........................Ha : 1 2 0.1 0.9 Por tanto se trata de una prueba de cola derecha Paso 2. Clculo del estadstico de prueba Zc p1 p 2

Zc p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2 0.150 = > Zc = 3.393046759 0.04417119 Tomamos a p1 como el mayor para comparar Zc contra Ze positiva (1- Alfa) Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para 1-Alfa 0.9 Ze (0.9) = 1.28155157 DIST.NORM.STAND.INV (0.9) 414 Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel (0.9) se tiene Zc = 3.39304676 P(Z>= + 1.28 ) = Alfa Ze(0.9) =

1.281551566 Valor p para Zc es igual a P(-Zc) = 0.00034946 p < Alfa Como Zc es mayo que Zexcel, si cae en el rea de rechazo, y por tanto hay suficiente evidencia para rechazar Ho y aceptar Ha Se concluye que la diferencia en conv. entre los bonos es significativa Paso adicional. El Intervalo de confianza del 98% sobre la diferencia de medias poblacionales, con sigmas desconocidas es: s p1 p 2 p1 (1 p1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2 ( p1 p 2 ) Z / 2 s p1 p 2 = Error estndar Zexcel (para alfa/2) 0.044171193 1.644853627 = Intervalo de confianza ( Se observa difererencia positiva entre proporciones el cero no est incluido en el intervalo (

0.150 0.077 <= PI <= 0.07265515 0.223 415 Robustez Los procedimientos estadsticos se basan en supuestos acerca de su comportamiento terico. Cuando los estadsticos obtenidos no son afectados por desviaciones moderadas de su expectativa terica, se dice que son robustos. 416 Resumen 417 Instrucciones con Minitab para la comparacin de dos varianzas Stat > Basic Statistics > 2-variances Seleccionar samples in different columns o Summarized

data First-- Indicar la columna de datos de la muestra 1 Second- Indicar la columna de datos de la muestra 2 En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% OK 418 Instrucciones con Minitab para la comparacin de dos medias Stat > Basic Statistics > 2-Sample t Seleccionar samples in different columns o Summarized data First-- Indicar la columna de datos de la muestra 1 Second- Indicar la columna de datos de la muestra 2 Seleccionar o no seleccionar Assume equal variances de acuerdo a los resultados de la prueba de igualdad de varianzas En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la diferencia a probar Test Difference (normalmente 0) Indicar el signo de la hiptesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than En graphs seleccionar las graficas Boxplot e Individual value plot OK 419 Instrucciones con Minitab para la comparacin de dos medias pareadas

Stat > Basic Statistics > Paired t Seleccionar samples in columns o Summarized data First sample Indicar la columna de datos de la muestra 1 Second sample - Indicar la columna de datos de la muestra 2 En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la diferencia a probar Test Mean (normalmente 0) Indicar el signo de la hiptesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than En graphs seleccionar las graficas Boxplot e Individual value plot OK 420 Instrucciones con Minitab para la prueba de hiptesis de dos proporciones Stat > Basic Statistics > 2-Proportions Seleccionar Summarized Data Trials: Events: First: No. de elementos de la 1. Muestra y D1 xitos encontrados Second: No. de elementos de la 2. Muestra y D2 xitos encontrados En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la Test Difference Normalmente 0 Indicar el signo de la hiptesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than Seleccionar Use pooled estimate of p for test

OK 421 7B5. Pruebas de bondad de ajuste 422 7B5. Bondad de ajuste PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Medidas sobre que tan cerca se ajustan los datos muestrales observados a una forma de distribucin particular planteada como hiptesis Si el ajuste es razonablemente cercano, puede concluirse que s exite la forma de distribucin planteada como hiptesis Por ejemplo: Ho: La distribucin poblacional es uniforme Ha: La distribucin poblacional no es uniforme Se usa el estadstico Chi-Cuadrado (Oi Ei) 2 Ei i 1 2 K Oi = Frecuencia de los eventos observados en los datos muestrales Ei = Frecuencia de los eventos esperados si la hiptesis nula es correcta Para que la prueba sea confiable Ei >= 5. De otra forma se combinan las categorias para cumplir con este requisito. K = Nmero de categoras o clases

423 7B5. Bondad de ajuste Ejemplo: Se venden n = 48 botes en 4 meses. Si la demanda es uniforme se esperara que se vendieran 12 botes / mes. La cantidad real que se vendi fue: Ventas (Oi) Ventas (Ei) Tipo de bote observadas esperadas A 15 12 B 11 12 C 10 12 D 12 12 DISTR.CHI Entonces el estadstico Chi Cuadrado de la muestra es = 1.17 el valor P corresp.= 0.76020818 El Chi Cuadrado de excel se determina con alfa = 0.05 y K - 1 grados de libetad = 3 Chi cuadrado de excel = 7.815 El estadstico Chi cuadrado calculado de 1.17 es menor al de excel de 7.815 por tanto se acepta la hiptesis nula PRUEBA.CHI.INV

424 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin de Poisson 1. Plantear la hiptesis nula y alterna Ho: La poblacin tiene una distribucin de prob. De Poisson Ha: Caso contrario 2. Tomar una muestra aleatoria, anotar la frecuencia observada fi y calcular la media de ocurrencias 3. Calcular la frecuencia esperada de ocurrencias ei. Multiplicar el tamao de muestra con la prob. de Poisson para cada valor de la variable aleatoria. Si hay menos de 5 combinar las categoras 4. Calcular el estadstico de prueba 2 ( f i ei ) 2 ei i 1 n 2 2 5. Rechazar Ho si o si p < alfa. Con gl=k-p-1 y alfa nivel de significancia 425

Ejemplo: Distribucin de Poisson =5 Ho: No. de clientes que llega en intervalos de 5 min. tiene una distribucin de Poisson Ha: No se sigue una distribucin de Poisson Clientes Frec. observada f(x) de Poisson 128*f(x) cantidad esperada 0 2 0.0067 0.8576 1 8 0.0337 4.3136 2 10 0.0842

10.7776 3 12 0.1404 17.9712 4 18 0.1755 22.4640 5 22 0.1755 22.4640 6 22 0.1462 18.7136

7 16 0.1044 13.3662 8 12 0.0653 8.3584 9 6 0.0363 4.6464 10 o ms 0.0318 426 4.0704 Ejemplo:

Distribucin de Poisson =5 Combinando X=0,1 y X=9, 10 o ms para que la frecuencia observada sea mayor a 5 y se pueda aplicar la distribucin Chi Cuadrada se tiene Clientes Frec. f(x) de Poisson 128*f(x) Observada frecuencia esperada (ei) (fi) 0o1 10 0.0067+0.0337 5.1712 2 10 0.0842 10.7776 3 12 0.1404

17.9712 4 18 0.1755 22.4640 5 22 0.1755 22.4640 6 22 0.1462 18.7136 7 16 0.1044

13.3662 8 12 0.0653 8.3584 9 o ms 6 0.0363+0.0318 8.7168 427 Estadstico y conclusin Con los datos anteriores se calcula el estadstico Chi cuadrada que se compara con Chi Cuadrada de alfa para k-p-1 grados de libertad (K categoras: 9, p parmetros a estimar: 1 media). ( f i ei ) 2 ei i 1 2 n

Ho se rechaza si 2 2 o si p es mayor que alfa. El valor de Chi Cuadrada calculado es de 10.9766 y el valor Chi Cuadrada de alfa 0.05 con 2 gl. Es de 14.07 no se rechaza Ho En este caso p = 0.14 > 0.05 por tanto no se rechaza Ho y se concluye que los datos siguen una distribucin de Poisson 428 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Normal 1. Plantear la hiptesis nula y alterna Ho: La poblacin tiene una distribucin de prob. Normal Ha: Caso contrario 2. Tomar una muestra aleatoria, calcular la media y la desviacin estndar 3. Definir K intervalos de valores de forma que la frecuencia esperada sea 5 cuando menos para cada uno (intervalos de igual probabilidad). Anotar la frecuencia observada de los valores de datos fi, en cada intervalo 429

7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Normal 4. Calcular el nmero de ocurrencias esperado ei, para cada intervalo de valores. Multiplicar el tamao de muestra por la probabilidad de que una variable aleatoria est en el intervalo. 2 ( f i ei ) 2 ei i 1 n 5. Calcular el estadstico de prueba 2 2 6. Rechazar Ho si o si p < alfa. Con gl=k-p-1 y alfa nivel de significancia 430 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Normal Ejemplo: datos de calificaciones: Media = 68.42; S = 10.41 Calificaciones

71 66 61 65 54 93 60 86 70 70 73 73 55 63 56 62 76

54 82 79 76 68 53 58 85 80 56 61 61 64 65 62 90

69 76 79 77 54 64 74 65 65 61 56 63 80 56 71 79 84

431 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Normal Ho: la poblacin tiene una distribucin normal con media 68.42 y S=10.41 Ha: Caso contrario Para una muestra de 50 con una frecuencia mnima esperada de 5 se tiene el 10% al menos por cada celda La primera celda correspondiente al 10% est en Z = -1.28 con X = (Media - Z*S) = 55.10 Para el rea del 20%, Z = -0.84 y X = 59.68 y as sucesivamente 432 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Normal Intervalo Frecuencia observada (fi) Frecuencia esperada (ei) Menos de 55.10

5 5 55.10 a 59.68 5 5 59.68 a 63.01 9 5 63.01 a 65.82 6 5 65.82 a 68.42 2 5

68.42 a 71.02 5 5 Se registran las frecuencias de los datos tomados de las calificaciones 433 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Normal Se determina el estadstico Chi Cuadrado = 7.2 ( f i ei ) 2 ei i 1 2 n

El Valor de Chi Cuadrado de alfa = 0.10 para k p 1 grados de libertad. K = 10 categoras, p = 2 parmetros. Gl = 7. Chi Cuadrado es 12.017 2 2 Como no se puede rechazar la hiptesis nula de normalidad de las calificaciones 434 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Multinomial 1. Enunciar la hiptesis nula y alternativa Ho: La poblacin sigue una distribucin de probabilidad multinomial con probabilidades especificadas para cada una de las K categoras Ha: Caso contrario 2. Tomar una muestra aleatoria y anotar las frecuencias observadas fi para cada categora 3. Suponiendo que Ho es cierta, determinar la frecuencia esperada ei, en cada categora multiplicando la probabilidad de la categora por el tamao de muestra 435 7B5. Prueba de Bondad de

ajuste para la distribucin Multinomial 4. Se determina el estadstico Chi Cuadrado de prueba ( f i ei ) 2 ei i 1 2 n 5. Regla de rechazo: 2 2 Si no se puede rechazar la hiptesis nula Rechazar si el valor p es menor a alfa Con alfa nivel de significancia y los grados de libertad son k-1 436 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Multinomial Ejemplo: El ao pasado la participacin de mercado para la empresa A fue del 30%, 50% para la empresa B y 20% para la empresa C. La empresa C hace una prueba con un nuevo producto para estimar su impacto en las preferencias del mercado. Se tom una muestra de 200 clientes resultando preferencias de compra de: 48 para A, 98 para B y 54 para C.

De acuerdo a las probabilidades esperadas, en los 200 clientes las preferencias esperadas son: A=200*0.3=60, B=200*0.5=100, C=200*0.2=40 437 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Multinomial Datos para calcular el estadstico de prueba Chi Cuadrado Categora Proporcin hipottica Frecuencia observada Frecuencia esperada Empresa A 0.3 48 60 Empresa B 0.5

98 100 Empresa C 0.2 54 40 438 7B5. Prueba de Bondad de ajuste para la distribucin Multinomial Chi Cuadrado calculado = 7.34 Chi cuadrado de alfa = 0.05 con k 1 = 2 grados de libertad = 2 es de 5.99. El valor p correspondiente es de 0.025. Como 7.34 es mayor a 5.99 o el valor p de 0.025 es menor a alfa de 0.05 se rechaza la hiptesis nula Ho y se concluye que el nuevo producto modificar las preferencias del mercado actuales La participacin de la empresa C aumenta con el nuevo producto 439 7B5. Prueba de Bondad de ajuste en Minitab La columna C1 Observadas contiene las frecuencias observadas y la C2 esperadas las frecuencias esperadas

Calc > Calculator > Store result in variable ChiCuadrada Teclear en el cuadro de expresin sum((ObservadasEsperadas)**2/Esperadas) Calc > Probability distributions > Chi Square Seleccionar Cummulative probability Degrees of freedom 2 Input column ChiCuadrada; Optional Storage CumProb OK Calc > Calculator > Store results in variable p En el cuadro Expression teclear 1-CumProb 440 OK 7B5. Prueba de Bondad de ajuste en Minitab Ejemplo: investigacin de mercado Observadas Esperadas ChiCuadrada 48 60 98 100 54 40 7.34

CumProb p 0.974524 0.0254765 441 7B5. Prueba de Bondad de ajuste en Excel Ejemplo: investigacin de mercado 1. Calcular el estadstico Chi Cuadrada con =(A2-B2)^2/B2 y Suma Chi cuadrada = 7.34 2. El valor P es =distr.chi(7.34, 2) 3. El estadstico Chi Cuadrada de alfa es: =prueba.chi.inv(0.05,2) = 5.99 4. Como p es menor a alfa de 0.05 se rechaza la Ho 442 7B6. ANOVA para un factor principal y una o ms variables de bloqueo 443 Introduccin

Cuando es necesario comparar 2 o ms medias poblacionales al mismo tiempo, para lo cual se usa ANOVA. El mtodo ANOVA tiene los siguientes supuestos: La varianza es la misma para todos los tratamientos del factor en todos sus niveles Las mediciones indiviudales dentro de cada tratamiento se distribuyen normalmente El trmino de error tiene un efecto distribuido normalmente e independiente 444 Contenido ANOVA de un factor o direccin ANOVA de un factor y una variable de bloqueo ANOVA de un factor y dos variables de bloqueo CUADRADO LATINO

ANOVA de un factor y tres variables de bloqueo CUADRADO GRECOLATINO 445 ANOVA de un factor o direccin 446 Introduccin Con el ANOVA las variaciones en la respuesta se dividen en componentes que reflejan los efectos de una o ms variables independientes La variabilidad se representa como la suma de cuadrados total que es la suma de cuadrados de las desviaciones de mediciones individuales respecto a la gran media, se divide en: Suma de cuadrados de las medias de los tratamientos Suma de cuadrados del residuo o error experimental 447 para probar la igualdad de medias de varias poblaciones para un factor

e trata de probar si el efecto de un factor o ratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es gnificativo, al realizar experimentos variando os niveles de ese factor (Temp. 1, Temp. 2, Temp.3, et Ho : 1 2 3 ......... a Ha : A lg unas. ' s.son.diferentes 448 ANOVA - Condiciones Todas las poblaciones son normales Todas las poblaciones tiene la misma varianza Los errores son independientes con distribucin normal de media cero La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor 449 ANOVA Ejemplo de datos veles del Factor Peso % de algodn y Resistencia de te

Peso porc. de algodn 15 20 25 30 35 Respuesta Resistencia de la tela 7 7 15 12 17 12 14 18 18 19 25 22 7 10 11 11 18 19 19 15 9

18 19 23 11 450 ANOVA Suma de cuadrados total Xij Gran media Xij a SCT i 1 b ( Xij j 1 2 X) 451 ANOVA Suma de cuadrados de renglones (a)tratamientos Media Trat. 1 Media Trat. a a renglones

Gran media a Media trat. 2 SCTr b( X i X ) i 1 452 2 ANOVA Suma de cuadrados del error X2j X1j X3j Media X1. Media X3. Media X2. Muestra 1 Muestra 2 a SCE

i 1 b (X j 1 ij X i) Muestra 2 453 ANOVA Suma de cuadrados del error X2j X1j X3j Media X1. Media X2. Muestra 1 Muestra 2 SCE SCT SCTr Media

X3. Muestra 454 ANOVA Grados de libertad: Totales, Tratamientos, Error gl.SCT n 1 gl.SCTr a 1 gl.SCE (n 1) (a 1) n a 455 ANOVA Cuadrados medios: Total, Tratamiento y Error MCT SCT /( n 1) MCTr SCTr /( a 1) MCE SCE /( n a ) 456 ANOVA Clculo del estadstico Fc y Fexcel MCTr Fc MCE Fexcel FINVALFA , gl .SCTr , gl .SCE 457 Tabla final de ANOVA

TABLA DE ANOVA FUENTE DE VARIACIN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CUADRADOS LIBERTAD MEDIO Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR Dentro de muestras (error) SCE n-a CME Variacin total SCT n-1 CMT VALOR F CMTR/CME

Regla: Rechazar Ho si la Fc de la muestra es mayor que la F de Excel para una cierta alfa o si el valor p correspondiente a la Fc es menor al valor de alfa especificado 458 ANOVA Toma de decisin Distribucin F Fexcel Alfa Zona de no rechazo de Ho O de no aceptar Ha Zona de rechazo De Ho o aceptar Ha Fc 459 ANOVA Toma de decisin Si Fc es mayor que Fexcel se rechaza Ho Aceptando Ha donde las medias son diferentes O si el valor de p correspondiente a Fc es menor de Alfa se rechaza Ho 460 ANOVA Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T

T q , a , n a CME b Para diseos balanceado (mismo nmero de columnas en los tratamientos) el valor de q se determina por medio de la tabla en el 461 ANOVA Identificar las medias diferentes por Prueba de Tukey T e calcula la diferencia Di entre cada par de Medias Xi 1 = X1 X2 D2 = X1 X3 D3 = X2 X3 etc. ada una de las diferencias Di se comparan con el alor de T, si lo exceden entonces la diferencia es ignificativa de otra forma se considera que las medias on iguales

462 diferentes por Prueba de Diferencia Mnima Significativa DMS 2(CME ) F ,1,n a DMS b Para diseos balanceados (los tratamientos tienen igual no. De columnas), se calcula un factor DMS contra el que se comparan las diferencias Xi Xi. Significativas si lo463 Prueba DMS para Diseos no balanceados DMS j ,k 1 1 (CME ) F ,a 1,n a b j bk Para diseos no balanceados (los tratamientos tienen diferente no. De columnas), se calcula un factor DMS Para cada una de las diferencias Xi Xi 464 Ejemplo:

Considerar un experimento de un factor (mquina) con tres niveles (mquinas A, B, C). Los datos se muestran a continuacin y debe verificarse si existe diferencia significativa a un alfa = 0.05 Mquin as Datos Su m a Prom . 465 Ejemplo: La tabla completa de ANOVA es la siguientes: Fuentes De variacin Cuadrado medio Mquin as

Como el valor calculado de F(33.2) excede el valor crtico de F, se rechaza la Hiptesis nula Ho 466 Ejemplo: Con Minitab: Stat>ANOVA>One way unstacked Responses (in separate columns) A B C Interpretar los resultados A B C 5 2 1 7 0 0 6

1 -2 7 -2 -3 6 2 0 467 Ejemplo: One-way ANOVA: A, B, C Source DF SS MS F Factor 2

137.20 68.60 33.19 Error 12 24.80 2.07 Total 14 162.00 S = 1.438 R-Sq = 84.69% P 0.000 Rechazo Ho R-Sq(adj) = 82.14% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ---------+---------+---------+---------+ A 5 6.200 0.837 (-----*----) B 5 0.600 1.673 C 5 -0.800

1.643 (----*-----) (-----*----) ---------+---------+---------+---------+ 0.0 Pooled StDev = 1.438 2.5 5.0 7.5 468 Corrida en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducenDurability los subndices de los renglones Carpet en una columna C218.95 1 12.62 1

11.94 1 14.42 1 10.06 2 7.19 2 7.03 2 14.66 2 469 Corrida en Minitab

Opcin: stat>ANOVA One Way (usar archivo Exh_aov) En Response indicar la col. De Respuesta (Durability) En factors indicar la columna de subndices (carpet) En comparisons (Tukey) Pedir grfica de Box Plot of data y residuales Normal Plot y vs fits y orden Si los datos estan en columnas pedir ANOVA One Way (unstacked) 470 Results for: Exh_aov.MTW One-way ANOVA: Durability versus Carpet Resultados Analysis of Variance for Durabili Source DF Carpet

3 SS MS F P 111.6 37.2 2.60 0.101 Error 12 172.0 Total 15 14.3 283.6 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev

Level N Mean 1 4 14.483 2 4 3 4 StDev 4 4 ---------+---------+---------+------- 3.157 9.735 12.808 17.005

3.566 (-------*-------) (-------*--------) 1.506 (--------*-------) 5.691 (-------*-------) ---------+---------+---------+------- Pooled StDev = 3.786 10.0 15.0 20.0 Tukey's pairwise comparisons Family error rate = 0.0500 Individual error rate = 0.0117 Critical value = 4.20 471 ANOVA de dos vas un factor principal y una

variable de bloqueo 472 ANOVA de 2 vas Este es un procedimiento extensin de los patrones del ANOVA de una va con tres fuentes de variacin: Tratamiento del factor A (columnas), Tratamiento del factor B (renglones) y Error experimental. X ijk Ef . Ai Ef .B j Ef . AxBij kij 473 para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos vas Se trata de probar si el efecto de un factor o Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es Significativo, al realizar experimentos variando Los niveles de ese factor (Temp.1, Temp.2, etc.) POR RENGLON Y Considerando los niveles de otro factor que se piensa Que tiene influencia en la prueba FACTOR DE 474 ANOVA 2 vas Para el tratamiento en renglones

Ho : 1 2 3 ......... a Ha : A lg unas. ' s.son.diferentes Para el factor de bloqueo en columnas Ho : '1 '2 '3 ......... 'a Ha : A lg unas. ' s.son.diferentes 475 ANOVA 2 vas - Ejemplo Maquinas Maq 1 Maq 2 Maq 3 Experiencia en aos de los operadores 1 2 3 4 5 27 31 42 38 45 21 33 39 41 46 25

35 39 37 45 476 ANOVA Dos vas o direcciones La SCT y SCTr (renlgones) se determina de la misma forma que para la ANOVA de una direccin o factor En forma adicional se determina la suma de cuadrados del factor de bloqueo (columnas) de forma similar a la de los renglones La SCE = SCT SCTr - SCBl 477 ANOVA de 2 vas b SCBl a ( X j X ) 2 j 1

gl.SCBl b 1 CMBl SCBl /(b 1) 478 ANOVA de 2 vas SCE SCT SCTr SCBl gl.SCE (n a )(n b) CME SCBl /(n a )(n b) 479 ANOVA Estadstico Fc y Fexcel MCTr Fc MCE Fexcel FINVALFA , gl .SCTr , gl .SCE 480 ANOVA Estadstico Fb MCBl Fc MCE Fexcel FINVALFA , gl .SCBl , gl .SCE 481 Tabla final ANOVA 2 vas FUENTE DE VARIACIN

SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CUADRADOS LIBERTAD MEDIO VALOR F Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME Entre Bloques (Factor Bl) SCBl b-1 CMBL CMBL/CME Dentro de muestras (error) SCE (a-1)(b-1) CME

Variacin total SCT n-1 CMT Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa 482 ANOVA 2 vas: Toma de decisin Distribucin F Fexcel Alfa Zona de no rechazo de Ho O de no aceptar Ha Fc Tr o Bl Zona de rechazo De Ho o aceptar Ha 483 ANOVA 2 vas: Toma de decisin Si Fc (Tr o Bl) es mayor que Fexcel se rechaza Ho Aceptando Ha donde las

medias son diferentes O si el valor de p correspondiente a Fc (Tr o Bl) es menor de Alfa se rechaza Ho 484 Clculo de los residuales y ij yi . y. j y.. Y estimada eij yij y ij Error o residuo s yi . MSE b Error estndar Rk r0.05, k , gl . MSE * s yi . Factor de comparacin Si la diferencia de medias excede a Rk es significativa 485 Adecuacin del modelo Los residuales deben seguir una recta en la grfica normal

Deben mostrar patrones aleatorios en las grficas de los residuos contra el orden de las Yij, contra los valores estimados y contra los valores reales Yij 486 Corrida en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C3 y los subndices de renglones en columna C4 y de columnas en C5 Plantas Suplemento Lago 34 1 Rose 43 1 Rose

57 1 Dennison 40 1 Dennison 85 2 Rose 68 2 Rose 67 2 Dennison 53 2

Dennison 41 3 Rose 24 3 Rose 42 3 Dennison 52 3 Dennison 487 Corrida en Minitab Opcin: stat>ANOVA Two Way (usar archivo

Exh_aov) En Response indicar la col. De Respuesta (Plantas) En Row factor y Column Factor indicar las columnas de subndices de renglones y columnas (suplemento y lago) y Display Means para ambos casos Pedir grfica residuales Normal Plot y vs fits y orden 488 Two-way ANOVA: Zooplankton versus Supplement, Lake Analysis of Variance for Zooplank Source DF SS MS F P Lake

Resultados 9.25 1 21 21 0.21 0.666 Interaction 2 561 281 2.71 0.145 Suppleme 2 1919

959 0.015 Error 6 Total 622 11 104 3123 Individual 95% CI Suppleme Mean 1 --+---------+---------+---------+--------43.5 2 (-------*-------) 68.3 3 39.8 (--------*-------)

(--------*-------) --+---------+---------+---------+--------30.0 45.0 60.0 75.0 Individual 95% CI Lake Dennison Rose Mean 51.8 49.2 ------+---------+---------+---------+----(----------------*----------------) (----------------*----------------) ------+---------+---------+---------+----42.0 48.0 54.0 489 60.0 ANOVA de un factor y dos o tres variables de

bloqueo CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO 490 ANOVA 3 y 4 factores El diseo de Cuadrado latino utiliza dos factores de bloqueo adicionales al de Tratamiento EL diseo de Cuadrado Grecolatino utiliza tres factores adicionales al del Tratamiento El clculo de suma de cuadrados para renglones y para columnas es similar al de ANOVA de un factor principal y otro de bloqueo 491 Cuadrado Latino Aos exp. Empleado 1 Maana B=15

Turno Tarde A=18 Noche C=11 2 C=12 B=20 A=9 3 A=17 A, B, C = Mquinas 1, 2 y 3 C=19 B=10 492 ANOVA Cuadrado Latino: Factor principal (A,B,C,D) b SCTr a ( X Tr X ) 2 j 1

gl.SCTr a 1 b 1 CMTr SCTr /(b 1) 493 ANOVA Cuadrado Latino: Clculo del error SCE SCT SCTcol SC Re ng SCTr gl.SCE (a 2)(a 1) CME SCE /( a 2)(a 1) 494 ANOVA Clculo del estadstico Fc y Fexcel MCTr Fc MCE Fexcel FINVALFA , gl .SCTr , gl .SCE 495 ANOVA Cuadrado Latino Reng / Col MC Re ng Fcreng MCE MCCols Fcols MCE Fexcel FINVALFA , gl .SCBl , gl .SCE

496 Tabla final ANOVA 2 Factores FUENTE DE VARIACIN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CUADRADOS LIBERTAD MEDIO VALOR F Renglores SCRen a-1 CMRen CMRen/CME Columnas SCCol b-1 CMCol CMCol/CME Tratamiento SCTr

a-1 CMTr CMTr/CME Dentro de muestras (error) SCE (a-2)(a-1) CME Variacin total SCT n-1 CMT 497 Cuadrado latino en Minitab Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducen los subndices de los renglones en

una columna C2 Se introducen los subndices de las columnas en una columna C3 Se introducen las letras maysculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C4 498 Cuadrado latino en Minitab Opcin: stat> ANOVA General linear model En Response indicar la col. De Respuesta, En Model indicar las columnas de los factores y En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). Se pueden pedir interacciones entre factores x y

con Cx*Cy Pedir grfica de residuales Normal y vs fits y orden 499 Cuadrado Greco Latino Experiencia de los operadores Lotes MP 1 2 3 4 5 1 Aa=-1 Bc=-5 Ce=-6 Db=-1 Ed=-1

2 Bb=-8 Cd=-1 Da=5 Ec=2 Ae=11 3 Cc=-7 De=13 Eb=1 Ad=2 Ba=-4 4 Dd=1 Ea=6 Ac=1

Be=-2 Cb=-3 5 Ee=-3 Ab=5 Bd=-5 Ca=4 Dc=6 a, b, c y d son 5 diferentes tipos de montaje A, B, C, D y E son las 5 formulaciones a probar 500 Cuadrado Greco latino en Minitab

Se introducen las respuestas en una columna C1 Se introducen los subndices de los renglones en una columna C2 Se introducen los subndices de las columnas en una columna C3 Introducir los subndices del factor adicional de letras griegas con letras latinas minsculas (a,b,c,d,e) en C4 Se introducen las letras maysculas que indican el nivel del factor (A, B, C, D, etc.) correspondientes a cada respuesta en la columna C5 501 Cuadrado Greco latino en Minitab Opcin: ANOVA General linear model En Response indicar la col. De Respuesta, En Model indicar las columnas de los factores y En Random factors indicar los factores adicionales al del efecto principal a probar (A, B, C, D). Tambin se pueden indicar interacciones entre factores x-y con Cx * Cy

Pedir grfica de residuales Normal y vs fits y orden 502 ANOVA Cuadrado Grecolatino b SCG a ( X m X ) 2 m 1 gl.SCG b 1 CMG SCG /(b 1) 503 ANOVA de 2 factores Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el error SCE SCT SCTr SCG SC Re n SCCol gl.SCE (a 3)(a 1) CME SCE /( a 3)(a 1) 504 ANOVA Clculo del estadstico Fc y Fexcel

MCG Fc MCE Fexcel FINVALFA , gl .SCTr , gl .SCE 505 ANOVA Cuadrado Grecolatino MCTr Fc MCE Fexcel FINVALFA , gl .SCBl , gl .SCE 506 Tabla final ANOVA 2 Factores FUENTE DE VARIACIN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CUADRADOS LIBERTAD MEDIO VALOR F Renglores SCRen a-1 CMRen CMRen/CME

Columnas Letras griegas Tratamiento SCCol SCG SCTr b-1 a-1 a-1 CMCol CMG CMTr CMCol/CME CMG/CME CMTr/CME Dentro de muestras (error) SCE (a-3)(a-1) CME Variacin total SCT

n-1 CMT 507 ANOVA para diseo factorial AxB En un experimento factorial involucrando el factor A con (a) niveles y un factor B con (b) niveles, la suma de cuadrados se puede dividir en: SST = SS(A) + SS(B) + SS(AB) + SSE 508 7B7. Tablas de contingencia 509 7B7. Tablas de contingencia Prueba Chi2 (2) 510 Para qu se utiliza? 1. Para probar si una serie de datos observada, concuerda con el modelo (serie esperada) de la informacin. 2. Para probar las diferencias entre las

proporciones de varios grupos (tabla de contingencia). Para todos los casos, Ho: No hay diferencia Ha: Hay diferencia 2 511 Ejemplo 1: Chi Cuadrada( 2 ) Se lanza una moneda al aire 100 veces y que obtenemos 63 guilas y 37 soles. La proporcin de guilas y soles sucede por casualidad? O, se concluye que la moneda est cargada? Ho: La moneda es buena Ha: La moneda est cargada 512 Ejemplo 1: Chi Cuadrada( Observada Esperada 2

) (fo - fe)2 fe ( fo ) ( fe ) Aguilas 63 50 3.38 Soles 37 50 3.38 2 = 3.38 + 3.38 2 = 6.76 2 c= g

j=1 Estadstico Chi Cuadrada (fo - fe)2 fe 513 Ejemplo 1: Chi cuadrada Funcin de Distribucin Acumulada Chi2 con 1 grado de libertad (d.f) 2c P(2c > x) 6.7600 p = 1 - 0.9907 = 0.0093 De tablas X2Crtica, (0.05, 1) = 3.8414 Ho: La moneda es buena. Ha: La moneda est cargada. Para un 95% de confianza antes de concluir que la moneda est cargada, se requiere que X2c > X2Crtica o que el valor de p sea 0.05. Como p 0.05, se puede concluir -con un 95% de confianza que la moneda est cargada. 514 Clculo en Excel del estadstico Chi cuadrada 1. Posicionarse en una celda vaca 2. Accesar el men de funciones con Fx 3. Seleccionar STATISTICAL o ESTADSTICAS, CHIINV. 4. Dar valores de probabilidad (0.05) y grados de libertad,

normalmente (n - 1) para un parmetro o (# de renglones -1) * (# de columnas - 1) para el caso de tablas de proporciones. 515 Tabla de Valores Crticos Seleccionados de Chi2 df .250 .100 .050 .025 .010 .005 .001 1 2 3 4 5 1.323 2.773 4.108 5.385 6.626

2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 5.024 7.378 9.348 11.143 12.832 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 10.828 13.816

16.266 18.467 20.515 6 7 8 9 10 7.841 9.037 10.219 11.389 12.549 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483

16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 22.458 24.322 26.125 27.877 29.588 11 12 13 14 15 13.701 14.845 15.984 17.117 18.245 17.275 18.549

19.812 21.064 22.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 31.264 32.909 34.528 36.123 37.697

16 17 18 19 20 19.369 20.489 21.605 22.718 23.828 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 32.000 33.409

34.805 36.191 37.566 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 39.252 40.790 43.312 43.820 45.315 21 22 23 24 25 24.935 26.039 27.141 28.241 29.339 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382

32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 41.401 42.796 44.181 45.558 46.928 46.797 48.268 49.728 51.179 52.620 26 27

28 29 30 30.434 31.528 32.620 33.711 34.800 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 41.923 43.194 44.461 45.722 46.979 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892

48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 54.052 55.476 56.892 58.302 59.703 40 50 60 45.616 56.334 66.981 51.805 63.167 74.397 55.758 67.505 79.082 59.342 71.420 83.298

63.691 76.154 88.379 66.766 79.490 91.952 73.402 86.661 99.607 70 80 90 100 77.577 88.130 98.650 109.141 85.527 96.578 107.565 118.498 90.531 101.879 113.145 124.342 95.023

106.629 118.136 129.561 100.425 112.329 124.116 135.807 104.215 116.321 128.299 140.169 112.317 124.839 137.208 149.449 516 Tabla de contingencia Una tabla de clasificacin de dos vas (filas y columnas) que contiene frecuencias originales, se puede analizar para determinar si las dos variables (clasificaciones) son independientes o tienen una asociacin significativa.

La prueba Chi Cuadrada probar si hay dependencia entre las dos clasificaciones. Adems se puede calcular el coeficiente de contingencia (correlacin) que en todo caso muestra la fuerza de la dependencia 517 Tabla de contingencia Para esta prueba se usa la prueba Chi Cuadrada donde: Entre mayor sea su valor, mayor ser la diferencia de la discrepancia entre frecuencias observadas y tericas. Esta prueba es similar a la de bondad de ajuste. 518 Tabla de contingencia Ejemplo: Cada una de las 15 celdas hace una contribucin al estadstico Chi Cuadrado (una celda) Asumiendo Alfa = 0.1 y Gl= (reng 1)*(Col 1) = 4*2 =

8 Chi-Cuadrado de alfa = 20.09 Como Chi Cuadrada calculada >> Chi C. Alfa, se rechaza Ho de igualdad de resultados entre negocios 519 Ejemplo 2: Chi2 Para comparacin de dos grupos; son las mismas proporciones?) Ho: No existen diferencias en los ndices de defectos de las dos mquinas. Ha: Existen diferencias en los ndices de defectos de las dos mquinas. Los valores observados (fo) son los siguientes: Partes buenas Partes defectuosas mquina 1 fo = 517 fo = 17 Total = 534 mquina 2 fo = 234 fo = 11 Total = 245

751 28 Total El ndice de defectos totales es 28 / 779 = 3.6% 779 Ejemplo 2: Chi2 Para comparacin de dos grupos; son las mismas proporciones?) Clculo de los valores esperados Partes buenas Partes defectuosas mquina 1 fo = 751*534/779 fo = 28*534/779 Total = 534 mquina 2 fo = 751*245/779 fo = 28*245/779

Total = 245 Basados en este ndice, los valores esperados (f e) seran: mquina 1 Partes buenas 530.53 mquina 2 233.47 Partes defectuosas 3.47 1.53 779 Prueba de chi cuadrada: Los conteos esperados estn debajo de los conteos observados Partes buenas Partes Defectuosas Total 1 532 2 534 530.53 3.47 2 Total

232 233.47 764 3 1.53 5 235 769 Chi2 = 0.004 + 0.624 + 0.009 + 1.418 = 2.056 DF= 1; valor de p = 0.152 2 celdas con conteos esperados menores a 5.0 Nota: Chi cuadrada no podr aplicarse en los casos donde los conteos seas menores a 5 en 20% de celdas. Si cualquiera de los conteos esperados en las celdas es menor a uno, no deber usarse Chi 2. Si algunas celdas tienen un conteo menor a los esperados, ya sea combinando u omitiendo renglones y/o columnas, las categoras pueden ser de utilidad. Tabla de Chi2 Tabla de valores crticos seleccionados para Chi2 DF .250 .100 .050 1

2 3 4 5 1.323 2.773 4.108 5.385 6.626 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 6 7 8 9 10 7.841 9.037 10.219 11.389

12.549 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 11 12 13 14 15 13.701 14.845 15.984 17.117 18.245 16 17 18 19 20 19.369 20.489 21.605 22.718 23.828

.025 .010 .005 5.024 7.378 9.348 11.143 12.832 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 10.828 13.816 16.266 18.467 20.515 12.592 14.067

15.507 16.919 18.307 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 22.458 24.322 26.125 27.877 29.588 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307

19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 26.757 28.300 29.819 31.319 32.801 31.264 32.909 34.528 36.123 37.697 23.542 24.769

25.989 27.204 28.412 26.296 27.587 28.869 30.144 31.410 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 39.252 40.790 43.312 43.820 45.315

. .001 Problema: Fugas Beneficios Potenciales: $10,000 de ahorro en retrabajos, y en la reduccin de tiempo de ciclo. Variacin en familias a probar Operador a operador Ho: No existe diferencia en los ndices de defecto de los diferentes operadores Ha: Existe diferencia en los ndices de defecto de los diferentes operadores Mquina a mquina Ho: No existe diferencia en los ndices de defecto de las diferentes mquinas Ha: Existe diferencia en los ndices de defecto de las diferentes mquinas Tamao de la muestra: 5000 + total de oportunidades (172 piezas) Prueba de chi2 (mquina a mquina) Los conteos esperados estn colocados debajo de los conteos observados Con fugas Sin fugas Total 1 30 610 640 32.11

607.89 2 235 223.38 4217 4228.62 4452 3 3 12.84 253 243.16 256 4 18 17.66 334 334.34 352 5414

5700 Total 286 Chi2 = 0.139 + 0.007 + 0.604 + 0.032 + 7.546 + 0.399 + 0.006 + 0.000 = 8.734 DF= (4-1)(2-1) = 3; valor P = 0.033 Prueba de chi2 (operador a operador) Los conteos esperados estn colocados debajo de los conteos observados. Con gotera Sin gotera Total 1 6 122 128 6.61 121.39 2 1 6.61 127 121.39 128 3 200

208.55 3836 3827.45 4036 4 54 13.23 202 242.77 256 5 5 36.38 699 667.62 704 6 12 6.61 278

116 121.39 5102 128 Total 5380 Chi2 = 0.057 + 0.003 + 4.765 + 0.260 + 0.351 + 0.019 +125.666 + 6.847 + 27.065 + 1.475 + 4.386 + 0.239 = 171.132 DF= 5; valor P = 0.000 Qu sucede si los grupos mltiples de variacin son estadsticamente significativos? (en este caso, operador a operador y mquina a mquina) Se utiliza un procedimiento denominado Coeficiente de Contingencia como clave para determinar qu grupo de variacin debe investigarse primero. Chi Cuadrada Coeficiente de Contingencia Chi2 N N CC Mquina 8.734

5700 0.15 Operador 171.132 5380 3.18 x 100 Controlador Mayor SI el tamao de la muestra (N), es similar para los grupos. Al dividir entre N, probablemente, llevar a la misma ruta que hubiera alcanzado con slo ver la estadstica Chi2. Sin embargo, si N tiene una variacin considerable, dependiendo del grupo de variacin que se investiga, el coeficiente de contingencia puede ser una herramienta valiosa para determinar la prioridad sobre qu grupo debe investigarse primero. Qu sucede si los grupos mltiples de variacin son estadsticamente significativos? (en este caso, operador a operador y mquina a mquina) Ahora que la informacin nos ha llevado a investigar a los Con gotera Sin gotera Total grupos de operador a 1 6 122

128 operador. Qu debemos 6.61 121.39 hacer ahora? Encontremos cul de los 2 1 127 128 operadores estaban fuera del 6.61 121.39 estndar. Era alguno de ellos 3 200 3836 4036 notablemente peor (o mejor) 208.55 3827.45 que el resto? Mucho peor que lo esperado 4 54 13.23 202

242.77 256 Mucho mejor que lo esperado 5 5 36.38 699 667.62 704 6 12 6.61 116 121.39 128 (Estos mismos operadores fueron quienes tuvieron los nmeros ms grandes de chi2) Operador a operador: = 0.000 Rechace Ho y acepte Ha

(Existe una diferencia significativa entre los operadores) Los operadores 4 y 5 estn fuera del estndar: El operador 4 es notablemente peor que el resto, El operador 5 es notablemente mejor que los dems Cul es el prximo paso? Hable con todos los operadores para averiguar qu diferencias pueden existen en sus tcnicas. El operador 4 no tena experiencia en este tipo de trabajo y apenas se estaba acostumbrado a soldar este producto en particular. El operador 5 encontr un modo de mejor de hacer el ensamble, con lo cual consigui mejorar el trabajo de soldadura, aunque esto mostraba un grado de dificultad ergonmica. Se aadi un colocador para ensamblar la parte en forma segura. (Esto tambin redujo el tiempo que requeran los operadores para acostumbrarse a trabajar en esta forma) Ejercicios 1. Se quiere evaluar la habilidad de tres inspectores de rayos X en un aeropuerto para detectar artculos clave. Como prueba se pusieron radios de transistores en 90 maletas, cada inspector fue expuesto a 30 maletas conteniendo radios mezcladas entre otras que nos los contenan. Los resultados se resumen a continuacin: Inspectores 1 2 3 Radios detectados Radios no detectados 27 3 25 5

22 8 Con un 95% de confianza, existe una diferencia entre los inspectores? Ho: p1 = p2 = p3; Ha: al menos una es diferente Grados de libertad = (columnas - 1) ( filas -1) Ejercicios 1. Se quiere evaluar si hay preferencia por manejar en un carril de una autopista dependiendo de la hora del da. Los datos se resumen a continuacin: Carril Izquierdo Central Derecho Hora del da 1:00 3:00 44 37 28 50 8 13 5:00 18 72 30 Con un 95% de confianza, existe una diferencia entre las

preferencias de los automovilistas dependiendo de la hora? Ho: P1 = P2 = P3; Ha: al menos una es diferente Grados de libertad = (columnas - 1) ( filas -1) Coeficiente de Contingencia Coeficiente de contingencia es el grado de relacin o dependencia de las clasificaciones en la tabla de contingencias es: 2 X C 2 2 X N Donde N es la frecuencia total y X es el estadstico Chi Cuadrado calculado 532 Coeficiente de Contingencia Para los datos del ejemplo anterior se tiene: 2 2 X 66 . 22 C 2 2

2 0.38 2 X N 66.22 393 El valor mximo de C se obtiene de: k 2 8 2 Max C 0.866 k 8 533 Correlacin de atributos Para tablas de orden k * k, el coeficiente de correlacin, r, es : 2 X r N (k 1) Donde 0<= r <= 1

534 7B8 Pruebas de Hiptesis no paramtricas 535 Pruebas no paramtricas Las pruebas paramtricas asumen una distribucin para la poblacin, tal como la Normal Las pruebas no paramtricas no asumen una distribucin especfica de la poblacin Bajo los mismos tamaos de muestra la Potencia o probabilidad de rechazar Ho cuando es falsa es mayor en las pruebas paramtricas que en las no paramtricas Una ventaja de las pruebas no paramtricas es que los resultados de la prueba son ms robustos contra violacin de los supuestos 536

Prueba de Hiptesis Atributo Variable No Normal Varianza Homogeneidad de la Variacin de Levene Tablas de Contingencia de Medianas Correlacin Correlacin Prueba de signos Normal Wilcoxon MannWhitney KurskalWallis Prueba de Mood Friedman Variancia Prueba-F Homogeneidad

de la Variacin de Bartlett Medias Pruebas de t Muestra-1 Muestra-2 ANOVA Una va Dos vas Correlacin Regresin Residuos distribuidos normalmente Resumen de pruebas de Hiptesis Datos Normales Datos No Normales Pruebas de Variancias Pruebas de Varianzas X2 : Compara la variancia de una Homogeneidad de la varianza de muestra con una variancia de un Levene : Compara dos o ms universo conocido. varianzas de muestras de la misma poblacin. Prueba F : Compara dos varianzas

de muestras. Homogeneidad de la variancia de Bartlett: Compara dos o ms varianzas muestras de la misma poblacin. 538 Resumen de pruebas de Hiptesis Datos Normales Pruebas de los Promedios Datos No Normales Pruebas de la Mediana Prueba t de 1 muestra : Prueba si el promedio de la muestra es igual a un promedio conocido o meta conocida. Prueba t de 2 muestras : Prueba si los dos promedios de las muestras son iguales. ANOVA de un factor: Prueba si ms de dos promedios de las muestras son iguales. ANOVA de dos factores : Prueba si los promedios de las muestras clasificadas bajo dos categoras, son iguales. Prueba de signos o Prueba Wilcoxon : Prueba si la mediana de la muestra es igual a un valor conocido o a un valor a alcanzar. Prueba Mann-Whitney : Prueba si dos medianas de muestras son iguales. Prueba Kruskal-Wallis: Prueba si ms de dos medianas de muestras son iguales. Asume que todas las distribuciones tienen la misma forma.

Prueba de la mediana de Mood : Otra prueba para ms de dos medianas. Prueba ms firme para los valores atpicos contenidos en la informacin. Prueba Friedman : Prueba si las medianas de las muestras, clasificadas bajo dos categoras, son iguales. Correlacin : Prueba la relacin lineal entre dos variables. Correlacin : Prueba la relacin lineal entre dos variables. Regresin : Define la relacin lineal entre una variable dependiente y una independiente. (Aqu la "normalidad" se aplica al valor residual de la regresin) 539 Acciones a tomar con datos No Normales Revise y asegrese de que los datos no siguen una distribucin normal. Desarrollar una Prueba de normalidad (para verificar realmente lo anormal. Para la prueba de Bartlet el valor de p debe ser < 0.05) Desarrollar una Prueba de Corridas (para verificar que no existen sucesos no aleatorios que puedan haber distorsionado la informacin) Revisar la informacin para detectar errores (tipogrficos, etc.). Investiguar los valores atpicos. Una muestra pequea (n < 30) proveniente de un universo normal, se mostrar algunas veces como anormal. Intentar transformar los datos. Las transformaciones comunes incluyen: - Raz cuadrada de todos los datos - Logaritmo de todos los datos

- Cuadrado de todos los datos Si la informacin es todava anormal, entonces usar las herramientas no paramtricas. 7B8. Definiciones Promedio : Es la media aritmtica de la informacin. Es la suma de todos los datos, dividida entre el nmero de datos de referencia. Mediana: Valor del punto medio de los datos, cuando se ordenan en forma ascendente (en caso de datos pares, obtener promedio). Moda : Valor que se repite con ms frecuencia sobre el conjunto de datos. Ejemplo: Se cuestion a veinte personas sobre cunto tiempo les tomaba estar listas para ir a trabajar, en las maanas. Sus respuestas (en minutos) se muestran ms adelante. Cules son el promedio y la mediana para esta muestra? 30, 37, 25, 35, 42, 35, 35, 47, 45, 60 39, 45, 30, 38, 35, 40, 44, 55, 47, 43 Un dibujo dice ms que mil palabras Promedio Mediana 28.0

35.0 42.0 49.0 56.0 63.0 -------+---------+---------+---------+---------+---------+------ Promedio = 40.35 C1 Mediana = 39.5 El promedio puede estar influenciado considerablemente por los valores atpicos porque, cuando se calcula un promedio, se incluyen los valores reales de estos valores. La mediana, por otra parte, asigna la misma importancia a todas las observaciones, independientemente de los valores reales de los valores atpicos, ya que es la que sencuentra en la posicin media de los valores ordenados. Pruebas Alternativas comnmente usadas Pruebas para datos No normales Analoga con datos normales

Prueba de Corridas : Calcula la probabilidad de que un X nmero de puntos de referencia, est por encima o por debajo del promedio aleatoriamente. Prueba de signos, de 1 muestra : Prueba la probabilidad de que la mediana de la muestra, sea igual al valor hipottico. Prueba Mann-Whitney : Comprueba el rango de dos muestras, por la diferencia entre dos medianas del universo. Prueba t de 2 muestras Prueba de la Mediana de Mood : Prueba para ms de dos medianas del universo. Ms robusta para los valores atpicos o para los errores en la informacin.

ANOVA de un factor Prueba de Corridas (la misma prueba para ambos tipos de informacin) Prueba t de una muestra Prueba de Rachas Considere los siguientes datos (que se muestran aqu en orden cronolgico): 325, 210, 400, 72, 150, 145, 110, 507, 56, 120, 99, 144, 110, 110, 320, 290, 101, 0, 80, 500, 201, 50, 140, 80, 220, 180, 240, 309, 80 Es importante tener los datos registrados en orden cronolgico. Una representacin grfica de los datos se asemeja a esto: 600 Promedio 500 Primera "corrida" 400 300 200 100 0 Segunda racha"

Racha: Un punto o una serie consecutiva de puntos que caen en un lado del promedio. Nmero total de Rachas: 12 Nmero total de puntos > al promedio: 11 Nmero total de puntos < al promedio: 18 Prueba de Rachas Ho: Los datos son aleatorios Ha:Los datos NO so aleatorios Prueba de Rachas Promedio K = 184.4483 Promedio Nmero de rachas observado = 12 Nmero de rachas esperado = 14.6552 Este es el valor p => No se rechaza Ho de las Prueba de 11 observaciones por encima de K; 18 por Corridas debajo La prueba es significativa en p= 0.2860 No se puede rechazar Ho con valor alfa = 0.05 Ya que p > 0.05, no podemos rechazar la hiptesis nula. Los datos son aceptados, siendo aleatorios. Clculos de la Prueba de Rachas El estadstico Z cuando n > 20 se calcula como: Z = (G - MediaG) / DesvStG Con MediaG = 1 + (2n1*n2) / (n1 + n2) DesvStG = Raiz [ (2n1*n2) (2n1*n2 - n1 -n2) / (n1 + n2)^2* (n1+n2 -1)

Del ejemplo anterior G = 12; MediaG = 14.655 n1 = 11 n2 = 18 DesStG = 2.4843 Z1 = (12 - 14.655) / 2.4843 = -1.0687 P(Z1) = 0.1430 y para dos colas se tiene P(Z1) + P(Z2) = 0.2860 > Alfa crtico de 0.05, no rechazndose Ho Si las n1 y n2 son menores a 21, entonces se consulta la tabla de valores crticos para el nmero de Rachas G Corrida con Minitab Stat > Nonparametrics > Runs Test Variable C1, Above and below the mean Runs Test: C1 Runs test for C1 Runs above and below K = 184.448 The observed number of runs = 12 The expected number of runs = 14.6552 11 observations above K, 18 below P-value = 0.285 P > 0.05 No rechazar Ho 547

Prueba de Signos de la Mediana Ho : La mediana de la muestra es igual a la mediana de la hiptesis Ha : Las medianas son diferentes Ejemplo (usando los datos del ejemplo anterior): Ho: Valor de la mediana = 115.0 Ha: Valor de la mediana diferente de 115.0 N DEBAJO IGUAL ENCIMA VALOR P MEDIANA 29 12 0 17 0.4576 144.0 Ya que p >0.05, no se puede rechazar la hiptesis nula. No se puede probar que la mediana real y la mediana hipottica son diferentes. En las pginas siguientes se muestra el detalle del clculo. Clculos de la Prueba de Signos de la Mediana Ejemplo: Con los datos del ejemplo anterior y ordenndo de menor a mayor se tiene: n = 29, Mediana de Ho = 115 No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor 0 50 56 72 80 80 80 99 101 110 Signo - No. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Valor 110 110 120 140

144 145 150 180 201 210 Signo + + + + + + + + No. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Valor 220 240 290 309

320 325 400 500 507 Signo + + + + + + + + + Con la mediana en 144. Si el valor contra el cual se desea probar es 115, entonces hay 12 valores por debajo de el (-) y 17 valores por arriba (+). Clculos de la Prueba de Signos de la Mediana El estadstico X es el el nmero de veces que ocurre el signo menos frecuente, en este caso el 12 (-). Cmo n 25, se calcula el estadstico Z para la prueba de signos con: Z = [ (Y + 0.5) - (0.5*n) ]/ 0.5 n En este caso Z1 = - 0.74278 y P(Z1) = 0.2288 para la cola izquierda en forma similar P(Z2) 0-2288 para la cola derecha, por lo que la probabilidad total es 0.4576 >> 0.05 del criterio de rechazo. Si n hubiera sido < 25 entonces se hubiera consultado la tabla de

valores crticos para la prueba de signo. Prueba de Signos de la Mediana Es esto correcto?144 podra ser igual a 115? Bueno, veamos una grfica de la informacin 0 115 100 200 300 400 500 144 Despus de todo, tal vez esto SEA lo correcto. Corrida en Minitab Stat > Nonparametrics > 1-Sample sign Variable C1 Confidence interval 95% Test Median 115 Alternative Not equal Sign Test for Median: Signos

Sign test of median = 115.0 versus not = 115.0 N Below Equal P Median Signos 29 12 0 0.4583 144.0 Above 17 Como P > 0.05 no se rechaza Ho y la mediana es 115 552 Prueba de Signos de la Mediana Para observaciones pareadas Calificaciones de amas de casa a dos limpiadores de ventanas: Ho: p = 0.5 no hay preferencia de A sobre B Ha: p<>0.5 Ama Casa Limpiad or B

A 1 10 7 2 7 5 3 8 7 4 5 2 Hay evidencia que indique cierta preferencia de las ama de casa por lo limpiadores? 553 Prueba de Signos de la Mediana

Product o B Media = 0.5*n Desv. Estand.= 0.5*raiz(n) Zc = (Y media) / Desv. Estnd Rechazar Ho si Zc >

4 - + 5 0 0 6 - + 7 - + 8 + - 9

- + 10 - + Hay evidencia que indique cierta preferencia por un Producto A o B? 554 Prueba de Signos de la Mediana Media = 0.5*11 = 5.5 Desv. Estand.= 0.5*raiz(n) = 1.67 Para Zc = (8 5.5) / 1.67 = 1.497 Zexcel = 1.96 para alfa/2 = 0.025 Como Zc < Zexcel no se rechaza Ho o Como p value = 0.067 > 0.025 No hay evidencia suficiente de que los Consumidores prefieran al producto B 555 Wilconox Es la alternativa no paramtrica de la prueba paramtrica de muestras pareadas Ejemplo: HO: Las poblaciones son idnticas Ha: Caso contrario Trabaja Mtodo Mtodo Diferen Abs(difere

Rango dor 1 2 cias n.) Rango c/signo 1 10.2 9.5 0.7 0.7 8 8 2 9.6 9.8 -0.2 0.2

2 -2 3 9.2 8.8 0.4 0.4 3.5 3.5 4 10.6 10.1 0.5 0.5 5.5 5.5

5 9.9 10.3 -0.4 0.4 3.5 -3.5 6 10.2 9.3 0.9 0.9 10 10 7 10.6 10.5

0.1 0.1 1 1 8 10 10 0 0 Eliminar 9 11.2 10.6 0.6 0.6 7

7 10 10.7 10.2 0.5 0.5 5.5 5.5 11 10.6 9.8 0.8 0.8 9 9 T =556 44 Prueba rango con signo de

Wilconox Distribucin muestral T para poblaciones idnticas Se aproxima a la distribucin normal para n >= 10 T 0 n(n 1)(2n 1) T 6 En este caso n = pares eliminando las que son iguales con dif. = 0 para el trabajador 8. = raiz(10 x 11 x 21/6) = 19.62 Z = (T )/ = 44/19.62 = 2.24 Z alfa/2 = Z0.025 = 1.96 Como Zc = 2.24 > Z0.025 se rechaza Ho, los mtodos son diferentes 557 Prueba en Minitab para prueba de mediana con Wilconox File> Open worksheet > Exh_Stat Stat > Nonparametrics > 1-Sample Wilconox Variables C1 Test Median 77 Altenative Not equal Wilcoxon Signed Rank Test: Achievement Test of median = 77.00 versus median not = 77.00 for Wilcoxon Estimated

for Wilcoxon Estimated N Test Statistic P Median Achievement 9 8 19.5 0.889 77.50 Ho: Mediana = 77 Ha: Mediana <> 77 Como P de 0.889 >> alfa de 0.05 no se rechaza Ho Achievement 77 88 85 74 75 62 80 70 83 558 Prueba de MannWhitney Se llev a cabo un estudio que analiza la frecuencia del pulso en dos grupos de personas de edades diferentes, despus de diez minutos de ejercicios aerbicos. Los datos resultantes se muestran a continuacin. Edad 40-44 C1

Tuvieron diferencias 140 significativas las frecuencias de 135 pulso de ambos grupos? 150 140 144 154 160 144 136 148 Edad 16-20 C2 130 166 128 126 140 136 132 128 124 Prueba de MannWhitney Ordenando los datos y asignndoles el (rango) de su posicin relativa se tiene (promediando posiciones para el caso de que sean iguales): Edad 40-44

C1 (7) 135 (8.5) 136 (11) 140 (11) 140 (13.5) 144 (13.5) 144 (15) 148 (16) 150 (17) 154 (18) 160 Edad 16-20 C2 (1) 124 (2) 126 (3.5) 128 (3.5) 128 (5) 130 (6) 132 (8.5) 136 (11)140 (15)166 n1 = 10 Ta = 130.5 n2 = 9 Tb = 55.5 Prueba de MannWhitney Ho: Las distribuciones de frecuencias relativas de las poblaciones A y B son iguales Ha: Las distribuciones de frecuencias relativas poblacionales no son idnticas

Ho: 1 = 2 Ha: 1 2 1, 2 = Medianas de las poblaciones Ordenando los datos y asignndoles su posicin relativa se tiene: Ua = n1*n2 + (n1) * (n1 + 1) /2 - Ta Ub = n1*n2 + (n2) * (n2 + 1) /2 - Tb Ua + Ub = n1 * n2 Ua = 90 + 55 - 130.5 = 14.5 P(Ua) = 0.006 Ub = 90 + 45 - 55.5 = 79.5 El menor de los dos es Ua. Para alfa = 0.05 el valor de Uo = 25 Como Ua < 25 se rechaza la Hiptesis Ho de que las medianas son iguales. Dado que p < 0.05, rechazamos la hiptesis nula. Estadsticamente existe una diferencia significativa entre los dos grupos de edad. Prueba de MannWhitney Ho: Las distribuciones de frecuencias relativas de las poblaciones A y B son iguales Ha: Las distribuciones de frecuencias relativas poblacionales no son idnticas Ua = 14.5 Ub = 79.5 Utilizando el estadstico Z y la distribucin normal se tiene: 45 12.24 Z = [ (U - (n1* n2 / 2 ) / Raiz (n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12) Con Ua y Ub se tiene: Za = (14.5 - 45) / 12.24 = - 2.49 P(Z) = 0.0064 similar a la anterior Zb = (79.5 -45) / 12.24 = 2.81 P(total) = 2 * 0.0064 = 0.0128 menor = 0.05 El valor crtico de Z para alfa 0.025 por ser prueba de dos colas, es 1.96. Como Za > Zcrtico se rechaza la Hiptesis Ho de que las medianas son iguales.

Dado que p < 0.05, rechazamos la hiptesis nula. Estadsticamente existe una diferencia significativa entre los dos grupos de edad. Prueba de Mann-Whitney 16-20 aos de edad 40-44 aos de edad 140 135 150 140 144 154 160 144 136 148 130 10 5 20 10 14 24 30 14 6 18 166

-26 -31 -16 -26 -22 -12 -6 -22 -30 -18 128 12 7 22 12 16 26 32 16 8 20 126 14 9 24 14 18 28 34 18 10

22 140 0 -5 10 0 4 14 20 4 -4 8 136 4 -1 14 4 8 18 24 8 0 12 132 8 3 18 8 12 22

28 12 4 16 128 12 7 22 12 16 26 32 16 8 20 124 16 11 26 16 20 30 36 20 12 24 Diferencias entre los encabezados de los renglones y las columnas De esta manera, se calcula la mediana de todas estas diferencias, denominada "punto estimado". Este punto estimado es una aproximacin de la diferencia entre

las medianas de los dos grupos (ETA1 y ETA2). Una vez ajustados los "enlaces" (eventos de un mismo valor en ambos grupos de informacin), Minitab usa este punto estimado para calcular el valor p. Corrida en Minitab Stat > Nonparametrics > Mann Whitney First Sample C1 Second Sample C2 Conf. Level 95% Alternative Not equal ann-Whitney Test and CI: C1, C2 N Median P>0.05 10 144.00 Se rechaza Ho 9 130.00 int estimate for ETA1-ETA2 is 12.00 .5 Percent CI for ETA1-ETA2 is (4.01,20.00) = 130.5 st of ETA1 = ETA2 vs ETA1 not = ETA2 is significant at 0.014 e test is significant at 0.0140 (adjusted for ties) 564 Prueba de Kruskal Wallis Ordenando los datos de ventas y asignndoles el (rango) de su posicin relativa se tiene (promediando posiciones para el caso de que sean iguales): Zona 1 (15.5) 147 (17.5) 17.5 (9) 128

(19) 162 (12) 135 (10) 132 (22) 181 (13) 138 Zona 2 (17.5) 160 (14) 140 (21) 173 (4) 113 (1) 85 (7) 120 (25) 285 (5) 117 (11) 133 (6) 119 Zona 3 (24) 215 (8) 127 (2) 98 (15.5) 127 (23) 184 (3) 109 (20) 169 n1 = 8 Ta = 118 n2 = 10 Tb = 111.5

n3 = 7 Tc = 95.5 N = n1 + n2 + n3 = 25 Prueba de Kruskal Wallis Ho: Las poblaciones A, B y C son iguales Ha: Las poblaciones no son iguales Ho: 1 = 2 = 3 Ha: 1 2 3 ; 1, 2, 3 = Medianas de las poblaciones Calculando el valor del estadstico H se tiene: H = [ 12 /( N* ( N + 1)) ] * [ Ta2 / n1 + Tb2 / n2 + Tc2 / n3 ] - 3 * ( N +1 ) H = 0.01846 * (1740.5 + 1243.225 + 1302.893 ) - 78 = 1.138 Se compara con el estadstico 2 para = 0.05 y G.l. = k - 1 = 3-1 = 1 (k muestras) 2 crtico = 5.991 (vlido siempre que las muestras tengan al menos 5 elementos) Como H < 2 crtico, no se rechaza la Hiptesis Ho: Afirmando que no hay diferencia entre las poblaciones Corrida en Minitab Stat > Nonparametrics > Kruskal Wallis Response C1 Factor C2 OK Kruskal-Wallis Test: Datos versus Factor Kruskal-Wallis Test on Datos Factor N Median Ave Rank Z Zona 1 7 138.0 14.7 0.98 Zona 2 10 126.5

11.1 -0.82 Zona 3 7 127.0 12.3 -0.10 Overall 24 12.5 P > 0.05 H = 1.08 DF = 2 P = 0.581 No se rechaza Ho H = 1.09 DF = 2 P = 0.581 (adjusted for ties) 567 Prueba de Medianas de Mood Realiza prueba de hiptesis de igualdad de medias en un diseo de una va. La prueba es robusta contra Outliers y errores en datos y es adecuada para anlisis preliminares Determina si K grupos independientes han sido extraidas de la misma poblacin con medianas iguales o poblaciones con formas similares Con base en la gran mediana, anotar un signo positivo si la observacin excede la mediana o un signo menos si es menor. Los valores que coincidan se reparten en los grupos Hacer una tabla de contingencia K x 2 con las frecuencias de signos ms y menos en cada grupo K

568 Prueba de Medianas de Mood Se determina el estadstico Chi Cuadrada con: (O E ) E 2 2 Probar Ho: Todas las medianas son iguales Ha: Al menos una mediana es diferente Se compara Chi Cuadrada calculada con Chi Cuadrada de alfa para 0.05 y (reng 1)*(Col 1) grados de libertad 569 Corrida con Minitab Se les da a 179 participantes una conferencia con dibujos para ilustrar el tema. Despus se les da la prueba OTIS que mide la habilidad intelectual. Los participantes se clasificaron por nivel educativo 0-No prof., 1-Prof., 2-Prepa Ho: h1 = h2 = h3 son iguales

Ha: no todas las medianas File > Open Worksheet > Cartoon.mtw Stat > Nonparametrics > Moods Median Test Response Otis Factor ED Ok 570 Corrida con Minitab Mood Median Test: Otis versus ED Mood median test for Otis P>0.05 Chi-Square = 49.08 DF = 2 P = 0.0005 Se rechaza Ho Individual 95.0% CIs ED N<= N> Median Q3-Q1 ----+---------+--------+---------+-0 47 9 97.5 17.3 (-----*-----) 1 29 24 106.0 21.5 2

15 55 116.5 16.3 (------*------) (----*----) ----+---------+---------+---------+-- 571 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Esta prueba es una alternativa al ANOVA de dos vas, es una generalizacin de las pruebas pareadas con signo. La aditividad es requerida para para estimar los efectos de los tratamientos Ho: Los tratamientos no tienen un efecto significativo Ha: Algunos tratamientos tienen efecto significativo 572 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados de salida: Se muestra el estadstico de prueba con distribucin Chi Cuadrada aproximada con gl = Tratamientos 1. Si hay observaciones parecidas en uno o ms bloques, se usa el rango promedio y se muestra el estadstico corregido

La mediana estimada es la gran mediana ms el efecto del tratamiento 573 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Ejemplo: Se evala el efecto del tratamiento de una droga en la actividad enzimtica con tres niveles, probado en cuatro animales Open the worksheet EXH_STAT.MTW. Stat > Nonparametrics > Friedman. Response, seleccionar EnzymeActivity. En Treatment, seleccionar Therapy. En Blocks, seleccionar Litter. Click OK. 574 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Datos: EnzymeActivity Therapy Litter

0.15 1 1 0.26 1 2 0.23 1 3 0.99 1 4 0.55 2 1 0.26

2 2 -0.22 2 3 0.99 2 4 0.55 3 1 0.66 3 2 0.77 3 3

0.99 3 4 575 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados: Friedman Test: EnzymeActivity versus Therapy blocked by Litter S = 2.38 DF = 2 P = 0.305 No rechazar Ho S = 3.80 DF = 2 P = 0.150 (adjusted for ties) Sum of Therapy N Est Median Ranks 1 4 0.2450 6.5 2

4 0.3117 7.0 3 4 0.5783 10.5 576 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados: El estadstico de prueba S tiene un valor P de 0.305 sin ajustar para observaciones en cero y 0.150 para el valor ajustado. Por tanto no hay evidencia suficiente para rechazar Ho Las medianas estimadas asociadas con los tratamientos son la gran mediana ms los efectos estimados de los tratamientos.

El estadstico de prueba se determina con base a los rangos en cada bloque y totales 577 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados: 578 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados: 579 Diseos factoriales aleatorias bloqueados de Friedman Resultados: 580 Prueba de igualdad de varianzas de Levene Se usa para probar la hiptesis nula de que las varianzas de k mltiples poblacionales son iguales Las igualdad de varianzas en las muestras se denomina

homogeneidad de varianzas La prueba de Levene es menos sensible que la prueba de Bartlett o la prueba F cuando se apartan de la normalidad La prueba de Bartlett tiene un mejor desempeo para la distribucin normal o aproximadamente normal 581 Prueba de igualdad de varianzas de Levene Para dos muestras el procedimiento es como sigue: Determinar la media Calcular la desviacin de cada observacin respecto a la media Z es el cuadrado de las desviaciones respecto a la media

Aplicar la prueba t a las dos medias de los datos 582 Rot Temp Oxygen 13 Prueba de igualdad 11 3 de Varianzas-Minitab10 10 2 10 2 10 2 10 6

4 10 6 7 10 6 15 10 10 2 10 10 7 10 10 26 16

2 19 16 2 24 16 2 15 16 6 22 16 6 18 16 6

20 16 10 24 16 10 8 16 10 Se estudian tamaos de papa inyectando con bacterias y sujetas a diferentes temperaturas. Antes del ANOVA se verifica la igualdad de varianzas Stat > ANOVA > Test for equal variances Response Rot Factors Temp Oxigen Confidence level 95% 583

Resultados 584 Resultados Test for Equal Variances: Rot versus Temp, Oxygen 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Temp Oxygen N Lower StDev Upper 10 2 3 2.26029 5.29150 81.890 10 6 3 1.28146 3.00000 46.427 10 10 3 2.80104 6.55744 101.481 16 2 3 1.54013 3.60555 55.799

16 6 3 1.50012 3.51188 54.349 16 10 3 3.55677 8.32666 128.862 Bartlett's Test (normal distribution) Test statistic = 2.71, p-value = 0.744 P>0.05 no rechazar Ho Levene's Test (any continuous distribution) 585 Prueba de la concordancia del Coeficiente de Kendall El coeficiente expresa el grado de asociacin entre las calificaciones mltiples realizadas por un evaluador Ho: Las variables son independientes Ha: Las variables estn asociadas Kendall usa la informacin relacionada con las calificaciones relativas y es sensible a la seriedad de mala clasificacin Por ejemplo para K = jueces N = Muestras = 10 Rango medio = 220 / 22 S = 1066 Gl = n-1 = 9

Chi Cuadrada crtica = X2 0.01,9 = 21.67 586 Prueba de la concordancia del Coeficiente de Kendall El Estadstico Chi Cuadrada calculado es: Como Chi Cuadrada de alfa es menor que la calculada, los cuatro jueces estn asociados significativamente. Constituyen un panel uniforme. No quiere decir que estn en lo correcto, solo que responden de manera uniforme a los estmulos 587 El coeficiente de correlacin de rangos de Spearman (rs) El coeficiente de correlacin es una medida de la asociacin que requiere que ambas variables sean medidas en al menos una escala ordinal de manera que las muestras u observaciones a ser analizadas pueden ser clasificadas en rangos en dos series ordenadas 2 r 1 Ho: Las variables son independientess

Ha: Las variables estn asociadas 6 d 3 N N Para el ejemplo anterior si N = 10, el coeficiente es: 6(5.5) rs 1 1 0.03 0.97 990 588 Coeficiente de correlacin de rangos para monotona de preferencias Una persona interesada en adquirir un TV asigna rangos a modelos de cada uno de 8 fabricantes Rang Fab. Preferencia Precio (rango) o Di 1

7 449.50 (1) 6 36 2 4 525.00 (5) -1 1 3 2 479.95 (3) -1 1 4 6

499.95 (4) 2 4 5 1 580.00 (8) -7 49 6 3 549.95 (7) -4 16 7 8 469.95 (2) 6

36 8 5 532.50 (6) -1 1 Di cuadrada 589 Coeficiente de correlacin de rangos para monotona de preferencias Ho: No existe asociacin entre los rangos Ha: Existe asociacin entre los rangos o es positiva o negativa El coeficiente de correlacin de rangos de Spearman es: Rs = 1 6*suma(di cuadrada) / (n(n cuadrada 1)) En este caso: Rs = 1 6(144)/(8*(64-1) = -0.714 R0 se determina de la tabla de Valores crticos del coeficiente de correlacin del coeficiente de correlacin de rangos de Spearman Rt = 0.686 Por tanto si hay asociacin significativa en las preferencias

590 Tabla de constantes n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Alfa=0.05 0.900

0.829 0.714 0.643 0.600 0.564 0.523 0.497 0.475 0.457 0.441 0.425 0.412 0.388 0.377 0.368 0.359 0.351 0.343 0.336 0.329 0.329 0.323 0.317 0.311 0.305 Alfa = 0.025 0.886 0.786 0.738 0.683 0.648 0.623

0.591 0.566 0.545 0.525 0.507 0.490 0.476 0.462 0.450 0.438 0.428 0.418 0.409 0.400 0.392 0.385 0.377 0.370 0.364 591 Corrida con Minitab Para la corrida en Minitab primero se deben determinar los rangos en forma manual para las variables X y Y. Stat > Basic statistics > Correlation Variables Preferencia Precio Fabric Prefeante rencia Precio

Preci o 1 7 1 449 2 4 5 525 3 2 3 479 Correlations: Preferencia, Precio 4 6

4 499 5 1 8 580 Pearson correlation of Preferencia and Precio = 0.714 6 3 7 549 7 8 2 469 8

5 6 532 P-Value = 0.047 592 Ejemplo con Minitab Se estudia la relacin entre colgeno y Proline en pacientes con cirrosis Stat > Basic statistics > Correlation Variables Colgeno Proline Correlations: Colageno, Proline Pearson correlation of Colageno and Proline = 0.935 P-Value = 0.002 Paciente Colgeno Proline 1

7.1 2.8 2 7.1 2.9 3 7.2 2.8 4 8.3 2.6 5 9.4 3.5 6 10.5

4.6 7 11.4 5 593 Resumen de pruebas no paramtricas Prueba de signos de 1 muestra: Prueba la igualdad de la mediana a un valor y determina el intervalo de confianza Prueba de Wilconox de 1 muestra: Prueba la igualdad de la mediana a un valor con rangos con signo y determina el intervalo de confianza Comparacin de dos medianas poblacionales de Mann Whitney: Prueba la igualdad de las medianas y determina el intervalo de confianza 594 Resumen de pruebas

no paramtricas Comparacin de igualdad de medianas poblacionales de Kruskal Wallis: Prueba la igualdad de las medianas en un diseo de una va y determina el intervalo de confianza Comparacin de medianas poblacionales de Mood: Prueba la igualdad de medianas con un diseo de una va 595 596 597 Salidas de la Fase de Anlisis Causas raz validadas Gua de oportunidades de mejora 598 Resumen de la validacin de las causas

# de Causa Causas 1 Ensamble de ojillos, bloques y contrapesos no adecuados en aspas. 2 3 Amortiguadores daados. 4 5 6 7 Desgaste de bujes en los carretes. Fabricacin y reemplazo de ejes y poleas no adecuados en ensamble de aspas. Desalineamiento de poleas y bandas de transmisin de aspas. Mtodo de Balanceo no adecuado. Desalineacin de pinolas en cuna.

Resultados SI ES CAUSA RAIZ SI ES CAUSA RAIZ Causa Raz X X NO ES CAUSA RAIZ NO ES CAUSA RAIZ SI ES CAUSA RAIZ X SI ES CAUSA RAIZ X NO ES CAUSA RAIZ Preguntas ejemplo 1. En un sentido amplio, cuantas de las siguientes causas de variacin en estudios multi vari pueden incluir elementos de proceso relacionados con el tiempo: I. Posicional II. Cilndrica III. Temporal

a. I y II c. II y III b. I y III d. I, II y III 2. En un estudio de anlisis de regresin con dos variables, que representa el trmino Beta 1?: a. La pendiente de la lnea b. La interaccin de la medicin c. La interseccin en el eje X d. La interseccin en el eje Y 3. Se hace un estudio entre la velocidad de coches y su consumo de gasolina. El coeficiente de correlacin es de 0.35. Despus se encontr que el velocmetro est equivocado y debi haber marcado 5 km. De ms. Se recalcula el coeficiente de correlacin, que debe dar: a. 0.30 b. 0.35 c. 0.40 d. -0.35 Preguntas ejemplo 4. La siguiente ecuacin es: a. La covarianza de X y Y b. El coeficiente de correlacin de X y Y c. El coeficiente de determinacin de X y Y d. La varianza del producto de X y Y 5. Segn la figura, Cul de las afirmaciones siguientes es falsa? I. El coeficiente de correlacin es negativo II. El coeficiente de determinacin es positivo III. El coeficiente de determinacin es menor que el coeficiente de correlacin a. Slo I c. Slo III b. Slo II

d. II y III Preguntas ejemplo 6. Un problema de correlacin: a. Se resuelve estimado el valor de la variable dependiente para varios valores de la variable independiente b. Considera la variacin conjunta de las dos mediciones, ninguna de las cuales es restringida por el experimentador c. Es un caso donde la distribucin relevante debe ser geomtrica d. Se resuelve al asumir que las variables son normales e independientemente distribuidas con media cero y varianza s Preguntas ejemplo 7. Una muestra aleatoria de tamao n se toma de una gran poblacin con desviacin estndar de 1.0. El tamao de muestra se determina de manera que haya un 0.05 de probabilidad de riesgo de exceder 0.1 de error de tolerancia al usar la media de la muestra para estimar la Mu. Cul de los siguientes valores es el ms cercano al tamao de muestra requerido? a. 365 b. 40 c. 200 d. 100 8. La diferencia entre poner alfa de 0.05 y alfa igual a 0.01 en

una prueba de hiptesis es: a. Con alfa de 0.05 se tiene mayor tendencia a cometer un error tipo I b. Con alfa de 0.05 se tiene ms posibilidad de riesgo de cometer un error tipo II c. Con alfa de 0.05 es una prueba ms conservadora de la hiptesis nula Ho d. Con alfa de 0.05 se tiene menos posibilidad de cometer un error tipo I 9. Si un tamao de muestra de 16 tiene un promedio de 12 y una desviacin estndar de 3, estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% para la poblacin (asumir una distribucin normal) Preguntas ejemplo 10. En una muestra aleatoria de 900 vehculos, 80% tienen frenos ABS. Cul es el intervalo del 95% para el porcentaje de vehculos con frenos ABS? a. 0.778 0.821 c. 0.639 0.964 b. 0.771 0.829 d. 0.774 0.826 11. Determinar si los siguientes dos tipos de misiles tienen diferencias significativas en sus varianzas a un nivel del 5%: Misil A:61 lecturas Varianza = 1.347 km2. Misil B:31 lecturas Varianza = 2.237 km2. a. Hay diferencia significativa ya que Fcalc < Ftablas b. No hay diferencia significativa por que Fcalc < Ftablas c. Hay diferencia significativa por que Fcalc > Ftablas d. No hay diferencia significativa pro que Facla > Ftablas 12. El valor crtico para t, cuando se hace una prueba t de

dos colas, con muestras de 13 y alfa de 0.05 es: a. 1.782 c. 2.064 b. 2.179 d. 1.711 Preguntas ejemplo 13. Tres personas en entrenamiento se les proporciona el mismo lote de 50 piezas y se les pide que las clasifiquen como buenas o defectuosas, con los resultados siguientes: Persona Defec tivos Buenos Total A 17 33 50 B 30 20 50 C 25 25 50 Total 72 78

150 Para determinar si hay o no hay diferencia en la habilidad de las tres personas para clasificar adecuadamente las partes, cul de los siguiente es (son) verdadero? I. El valor calculado de Chi cuadrada es de 6.9 II. Para un nivel de significancia de 0.05, el valor crtico de Chi cuadrada es de 5.99 III. Como el valor calaculado de Chi cuadrada en mayor a 5.99, se rechaza la hiptesis nula a. Slo I c. Slo II b. I y II d. I, II y III 14. Un anlisis de varianza de dos vas tiene r niveles para una variable y c niveles para la otra, con dos obseraciones por celda. Los grados de libertad para la interaccin son: a. 2 (r ) (c ) b. (r-1) (c-1) c. rc 1 d. 2 (r -1) (c 1) Preguntas ejemplo 15. Los supuestos bsicos del anlisis de varianza oncluyen: I. Las observaciones vienen de poblaciones normales II. Las observaciones vienen de poblaciones con vaianzas iguales III. Las observaciones vienen de poblaciones con medias iguales a. I y II c. II y III b. I y III d. I, II y III 16. El valor terico esperado para una celda en la tabla de

contingencia se calcula como: Preguntas ejemplo 17. Cul de las siguientes afirmaciones son verdaderas en relacin a las pruebas no paramtricas? I. Tienen mayor eficiencia que sus equivalentes pruebas paramtricas II. Pueden ser aplicadas a estudios de correlacin III. Requieren supuestos acerca de la forma oi naturaleza de las poblaciones involucradas IV. Requieren clculos que son ms difciles que sus equivalentes pruebas paramtricas a. Slo II c. II y IV b. I y III d. I, II y III

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